Hỏi đáp về Chương Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Cho tam giác \(ABC\), ta gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), điểm \(I\) thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \). Hãy chứng minh \(I\) là trung điểm của \(AM\).

A. cùng hướng

B. cùng độ dài

C. cùng hướng, cùng độ dài

D. cùng phương, cùng độ dài

A. \(\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {BC} \)

B. \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {BC} \)

C. \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \)

D. \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \)

A. \(D = \left( { - \infty ;1} \right]\)

B. \(D = \left[ {1; + \infty } \right)\)

C. \(D = \left( { - \infty ;1} \right)\)

D. \(D = \left( {1; + \infty } \right)\)

A. \(\left( {2; - 1} \right)\)            B. \(\left( {4; - 3} \right)\)

C. \(\left( {2;1} \right)\)               D. \(\left( { - 4;3} \right)\)

Với tam giác \(ABC\) có \(AB = 5;AC = 6;BC = 7.\) Hãy tính : \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).

Trong mặt phẳng hệ tọa độ \(Oxy,\) ta cho hai điểm \(A\left( {3; - 1} \right),\,B\left( {1;1} \right)\). Hãy tìm tọa độ diểm \(E\) biết điểm \(E\) thuộc trục tung và ba điểm \(A,B,E\) thẳng hàng.

Cho biết hình vuông ABCD cạnh a, gọi I là giao điểm của AC và BD, M là điểm thỏa mãn \(M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2} + 2M{{\rm{D}}^2} = 12{{\rm{a}}^2}\), tính MI.

Với tam giác ABC với \(A\left( {1;2} \right),B\left( { - 3; - 3} \right),C\left( {5; - 2} \right)\). Hãy tìm tọa độ của \(\vec v = 2\overrightarrow {AB}  - 3\overrightarrow {AC}  + 4\overrightarrow {BC} \).

Ta cho hình chữ nhật ABCD và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} \)

Ta cho tam giác ABC có \(AC = 7cm,\,\,BC = 10cm\) và \(\widehat {BAC} = {60^0}\). Tính \(\sin \widehat {ABC}\) và tính độ dài cạnh AB (yêu cầu tính ra kết quả chính xác, không tính xấp xỉ).

Ở trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm không thẳng hàng: \(A\left( {3;4} \right),\,B\left( {4;1} \right),\,C\left( {2; - 3} \right),\,D\left( { - 1;6} \right)\). Chứng minh rằng: ABCD là tứ giác nội tiếp được một đường tròn. 

Cho biết rằng \(\sin \alpha  = \dfrac{1}{4}\). Hãy tính \(\cot \alpha \)?

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta cho các điểm \(A\left( {1;1} \right);\,\,B\left( { - 1;2} \right);\,\,C\left( { - 3; - 2} \right)\). Tìm tọa độ điểm D để \(\overrightarrow {AD}  = 2\overrightarrow {BC} \).

Ở trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết \(A\left( {1;1} \right);\,\,B\left( {0;4} \right);\,\,C\left( { - 4;2} \right)\). Trên đường thẳng BC lấy điểm M sao cho \(\overrightarrow {BM}  = k\overrightarrow {BC} \). Tìm k để tam giác ACM cân tại M.

Với tam giác \(ABC\) có trọng tâm G và hai điểm \(P,Q\) thỏa mãn \(\overrightarrow {PA}  = 2\overrightarrow {PB} \), \(3\overrightarrow {QA}  =  - 2\overrightarrow {QC} \). Chứng minh rằng ba điểm \(P,Q,G\) thẳng hàng.

A. \(A\left( {1;5} \right);B\left( { - 6;40} \right)\)         B. \(A\left( { - 1;5} \right);B\left( {6;40} \right)\)

C. \(A\left( {2;8} \right);B\left( { - 3;13} \right)\)         D. \(A\left( { - 2;8} \right);B\left( {3;13} \right)\)

A. \(\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD} \)

B. \(\overrightarrow {MC}  = \dfrac{1}{5}\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD} \)

C. \(\overrightarrow {MC}  =  - \dfrac{1}{5}\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD} \)

D. \(\overrightarrow {MC}  = \dfrac{4}{5}\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD} \)

A. \(\overrightarrow v  = \left( { - 1;2} \right)\)    

B. \(\overrightarrow v  = \left( {1; - 1} \right)\)   

C. \(\overrightarrow v  = \left( {1;1} \right)\)      

D. \(\overrightarrow v  = \left( {1;0} \right)\)

A. \(x = \dfrac{1}{3}\)             B. \(x = 3\)       C. \(x = \dfrac{1}{5}\)            D. \(x = \dfrac{5}{3}\)

A.  AENM là hình bình hành

B. BENM là hình bình hành

B. CENM là hình bình hành

C. ABNM là hình bình hành

A. \(\dfrac{a}{6}\)           B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)         C. \(\dfrac{a}{3}\)            D. \(\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)

A. \(m = 1,n =  - 1\)         B. \(m = 1,n =  - \dfrac{3}{2}\)

C. \(m = 1,n = \dfrac{3}{2}\)        D. \(m =  - 1,n =  - \dfrac{3}{2}\)

A. \(B\left( { - 12;1} \right),C\left( {22;15} \right)\)

B. \(B\left( { - 12; - 1} \right),C\left( {22;15} \right)\)

C. \(B\left( {12;1} \right),C\left( { - 22;15} \right)\)

D. \(B\left( {12; - 1} \right),C\left( { - 2;15} \right)\)