Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Nhị thức Newton

Ở Trung học cơ sở, ta đã quen thuộc với các công thức khai triển:

\({{(a+b)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\) ; \({{(a+b)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\)

Với số tự nhiên n>3 thì công thức khai triển biểu thức \({{(a+b)}^{n}}\) sẽ như thế nào?

a) Xét công thức khai triển \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)

i) Liệt kê các số hạng của khai triển trên

ii) Liệt kê các hệ số của khai triển trên

iii) Tính giá trị của \(C_3^0,C_3^1,C_3^2,C_3^3\) (có thể sử dụng máy tính) rồi so sánh với các hệ số trên. Có nhận xét gì?

b) Hoàn thành biến đổi sau đây để tìm công thức khai triển của  \({\left( {a + b} \right)^4}\)

\({\left( {a + b} \right)^4} = \left( {a + b} \right){\left( {a + b} \right)^3} = ? = ?{a^4} + ?{a^3}b + ?{a^2}{b^2} + ?a{b^3} + ?{b^4}\)

Tính giá trị của \(C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4\) để viết lại công thức khai triển trên

c) Từ kết quả của câu a) và b), hãy dự đoán công thức khai triển của \({\left( {a + b} \right)^5}\). Tính toán để kiểm tra dự đoán đó.

Khai triển các biểu thức sau

a) \({\left( {x - 2} \right)^4}\)

b) \({\left( {x + 2y} \right)^5}\)

Sử dụng công thức nhị thức Newton, chứng tỏ rằng

a) \(C_4^0 + 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 + {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 81\)

b) \(C_4^0 - 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 - {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 1\)

Trên quầy còn 4 vé xổ số khác nhau. Một khách hàng có bao nhiêu lựa chọn mua một số vé trong các số vé đó? Tính cả trường hợp mua không vé, tức là không mua vé nào.

Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:

a) \({\left( {3x + y} \right)^4}\)

b) \({\left( {x - \sqrt 2 } \right)^5}\)

Khai triển và rút gọn các biểu thức sau:

a) \({\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4}\)

b) \({\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^4}\)

c) \({\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^5}\)

Tìm hệ số của \({x^3}\) trong khai triển \({\left( {3x - 2} \right)^5}\)

Cho \(A = \left\{ {{a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5}} \right\}\) là một tổ hợp có 5 phần tử. Chứng minh rằng tổ hợp con có số lẻ \(\left( {1,3,5} \right)\) phần tử của A bằng tập hợp con có số chẵn \(\left( {0,2,4} \right)\) phần tử của A

Chứng minh rằng \(C_5^0 - C_5^1 + C_5^2 - C_5^3 + C_5^4 - C_5^5 = 0\)

Khai triển các biểu thức sau:

a) \({\left( {x + 3y} \right)^4}\) b) \({\left( {3 - 2x} \right)^5}\) c) \({\left( {x - \frac{2}{x}} \right)^5}\) d) \({\left( {3\sqrt x  - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^4}\)\(\)

Khai triển và rút gọn biểu thức \(\left( {x - 2} \right){\left( {2x + 1} \right)^4}\)

Tìm giá trị của tham số a để trong khai triển \(\left( {a + x} \right){\left( {1 + x} \right)^4}\) có một số hạng \(22{x^2}\)

Biết rằng trong khai triển \({\left( {ax - 1} \right)^5}\), hệ số của \({x^4}\) gấp 4 lần hệ số của \({x^2}\). Hãy tìm giá trị của tham số a. 

Biết rằng trong khai triển của \({\left( {ax + \frac{1}{x}} \right)^4}\), số hạng không chứa \(x\) là 24. Hãy tìm giá trị của tham số \(a\).

Cho biểu thức \(A = {\left( {2 + x} \right)^4} + {\left( {2 - x} \right)^4}\)

a) Khai trển và rút gọn biểu thức A

b) Sử dụng kết quả ở câu a, tính gần đúng \(A = 2,{05^4} + 1,{95^4}\)

Bạn An có 4 cái bánh khác nhau từng đôi một. An có bao nhiêu cách chọn ra một số cái bánh (tính cả trường hợp không chọn cái nào) để mang theo trong buổi dã ngoại?