Dưới đây là lý thuyết và bài tập minh họa về bài Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ Toán 10 Chân trời sáng tạo đã được HỌC247 biên soạn ngắn gọn, đầy đủ, dễ hiểu giúp các em dễ dàng nắm được nội dung chính của bài. Mời các em cùng theo dõi.
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Elip
Cho hai điểm cố định và phân biệt \({F_1},{F_2}\). Đặt \({F_1}{F_2} = 2c > 0\). Cho số thực a lớn hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\) được gợi là đường elip (hay elip). Hai điểm \({F_1},{F_2}\) được gọi là hai tiêu điểm và \({F_1}{F_2} = 2c\) được gợi là tiêu cự của elip đó.
|
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điềm của đoạn nối hai tiêu điểm đó, thì có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\). (2) Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (2), với a > b > 0, đều là phương trình của elip có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt {{a^2} - {b^2}} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {{a^2} - {b^2}} ;0} \right)\), tiêu cự \(2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} \) và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bằng 2a. Phương trinh (2) được gọi là phương trình chính tắc của elip tương ứng. |
|---|
Ví dụ: Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip. Tính tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm.
Giải
Ta có: a2 = 25, b2 = 16. Do đó \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 3\). Vậy elip có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 3;0} \right);{F_2}\left( {3;0} \right)\) và tiêu cự là \({F_1}{F_2} = 2c = 6\). Ta có \(a = \sqrt {25} = 5\), nên tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm bằng 2a= 10.
1.2. Hypebol
Cho hai điểm phân biệt có định \({F_1}\) và \({F_2}\). Đặt \({F_1}{F_2} = 2c\). Cho số thực dương a nhỏ hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2c\) được gọi là đường hypebol (hay hypebol). Hai điểm \({{F_1},{F_2}}\) được gọi là hai tiêu điểm và \({F_1}{F_2} = 2c\) được gọi là tiêu cự của hypebol đó.
|
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó, thì có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a,b > 0\). (4) Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (4), với a, b >0, đều là phương trình của hypebol có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0} \right)\), tiêu cự \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mối điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 2a. Phương trình (4) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol tương ứng. |
|---|
Ví dụ: Cho hypebol có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của hypebol. Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng bao nhiêu?
Giải
Ta có \({a^2} = 9,{b^2} = 16\), nên \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 5\). Vậy hypebol có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 5;0} \right),{F_2}\left( {5;0} \right)\) và có tiêu cự 2c = 10. Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng \(2{\rm{a}} = 2\sqrt 9 = 6\).
1.3. Parabol
|
Cho một điểm F có định và một đường thẳng \(\Delta \) cố định không đi qua F. Tập hợp các điểm M cách đều F và \(\Delta \) được gọi là đường parabol (hay parabol). Điểm F được gọi là tiêu điểm, \(\Delta \) được gọi là đường chuẩn, khoảng cách từ F đến \(\Delta \) được gọi là tham số tiêu của parabol đó. Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F, đường chuẩn \(\Delta \). Gọi H là hình chiếu vuông góc của F trên \(\Delta \). Khi đó, trong hệ trục toạ độ Oxy với gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF, parabol (P) có phương trình \({y^2} = 2p{\rm{x}}\) (với p > 0) (5) Phương trình (5) được gọi là phương trình chính tắc của parabol (P). Ngược lại, mỗi phương trình dạng (5), với p > 0, là phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\) và đường chuẩn \(\Delta :x = - \frac{p}{2}\). |
|---|
Ví dụ: Cho parabol \((P):{y^2} = x\).
a) Tìm tiêu điểm F, đường chuẩn \(\Delta \) của (P).
b) Tìm những điểm trên (P) có khoảng cách tới F bằng 3.
Giải
a) Ta có 2p = 1 nên \(p = \frac{1}{2}\).
Parabol có tiêu điểm \(F\left( {\frac{1}{4};0} \right)\) và đường chuẩn \(\Delta :x = - \frac{1}{4}\)
b) Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuuọc (P) có khoảng các tới F bằng 3 khi và chỉ khi \({y_0}^2 = {x_0}\) và MF = 3.
Do \(MF = d\left( {M,\Delta } \right)\) nên \(d\left( {M,\Delta } \right) = 3\)
Mặt khác \(\Delta :x + \frac{1}{4} = 0\) và \({x_0} = {y_0}^2 \ge 0\) nên \(3 = d\left( {M,\Delta } \right) = \left| {{x_0} + \frac{1}{4}} \right| = {x_0} + \frac{1}{4}.\)
Vậy \({x_0} = \frac{{11}}{4}\) và \({y_0} = \frac{{\sqrt {11} }}{2}\) hoặc \({y_0} = - \frac{{\sqrt {11} }}{2}\).
Vậy có hai điểm M thoả mãn bài toán với toạ độ là \(\left( {\frac{{11}}{4};\frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{{11}}{4}; - \frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)\).
Bài tập minh họa
Câu 1: Viết phương trình chính tắc của elip trong hình sau:
.JPG)
Hướng dẫn giải
Dựa vào hình vẽ ta thấy \(a = 3,c = 2 \Rightarrow b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} = \sqrt {{3^2} - {2^2}} = \sqrt 5 \)
Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\)
Câu 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 10 và độ dài trục nhỏ bằng 6.
Hướng dẫn giải
Ta có: \(2c = 10 \Rightarrow c = 5,2b = 6 \Rightarrow b = 3\)
Suy ra \(a = \sqrt {{c^2} - {b^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\)
Vậy phương trình chính tắc của hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
Câu 3: Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có đường chuẩn \(\Delta :x + 1 = 0\)
Hướng dẫn giải
Từ phương trình đường chuẩn \(\Delta :x + 1 = 0\) ta có tiêu điểm \(F\left( {1;0} \right)\)
Phương trình chính tắc của parabol có dạng \({y^2} = 2x\)
Luyện tập Bài 4 Chương 9 Toán 10 CTST
Qua bài giảng trên giúp các em học sinh:
- Nắm vững được KN và PT đường chuẩn của (E) và (H).
- Nắm vững được ĐN ba đường cô nic.
- Xác định được PT đường chuẩn của các đường cônic.
- Lập được PT của cônic khi biết PT đường chuẩn và tâm sai của nó.
3.1. Bài tập trắc nghiệm Bài 4 Chương 9 Toán 10 CTST
Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 9 Bài 4 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
-
- A. \(\dfrac{{{x^2}}}{25} + \dfrac{{{y^2}}}{{9}} = 1\)
- B. \(\dfrac{{{x^2}}}{100} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)
- C. \(\dfrac{{{x^2}}}{100} + \dfrac{{{y^2}}}{{81}} = 1\)
- D. \(\dfrac{{{x^2}}}{25} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)
-
- A. \(\dfrac{{{x^2}}}{25} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)
- B. \(\dfrac{{{x^2}}}{25} + \dfrac{{{y^2}}}{{9}} = 1\)
- C. \(\dfrac{{{x^2}}}{100} + \dfrac{{{y^2}}}{{81}} = 1\)
- D. \(\dfrac{{{x^2}}}{25} - \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)
-
- A. 8
- B. 10
- C. 16
- D. 20
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
3.2. Bài tập SGK Bài 4 Chương 9 Toán 10 CTST
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 9 Bài 4 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động khám phá 1 trang 64 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 2 trang 64 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 1 trang 65 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng 1 trang 65 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 3 trang 65 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 4 trang 66 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 2 trang 67 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng 2 trang 67 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 5 trang 68 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 6 trang 68 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 3 trang 70 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng 3 trang 70 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 1 trang 70 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 2 trang 70 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 3 trang 70 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 4 trang 71 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 5 trang 71 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 6 trang 71 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 1 trang 75 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 2 trang 75 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 3 trang 75 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 4 trang 76 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 5 trang 76 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 6 trang 76 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hỏi đáp Bài 4 Chương 9 Toán 10 CTST
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 HỌC247
