Toán 10 Cánh Diều Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ 1:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y > 10\\x - y \le 7\end{array} \right.\);\(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y \le 5\\x - 2y > 7\\2x > 3\end{array} \right.\)

Ví dụ 2: cặp số \((7;0)\) là một nghiệm của hệ BPT \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y > 10\\x - y \le 7\end{array} \right.\)

Ví dụ: Biểu diễn miễn nghiệm của hệ bất phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}
2x + y \le 4\\
x + y \le 3\\
x \ge 0\\
y \ge 0
\end{array} \right.\)

Giải

Vẽ các đường thẳng: \({d_1}:2x + y = 4;{d_2}:x + y = 3\); \({d_3}:x = 0\) là trục tung; \({d_4}:y = 0\) là trục hoành.

Gạch đi các phần không thuộc miễn nghiệm của mỗi bất phương trình.

Miễn nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác OABC kể cả miễn trong (còn gọi là miễn tứ giác OABC) với O(0; 0), A(0 ; 3), B(1; 2), C(2; 0).

Cho hệ BPT bậc nhất hai ẩn x, y có miền nghiệm là miền đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\).

Khi đó: Giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biể thức \(T(x;y) = mx + ny\), với \((x;y)\) là tọa độ các điểm thuộc miền đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\), đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.

Ví dụ: Trong năm nay, một cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hoà điều hoà hai chiều và điều hoà một chiều với số vốn ban đầu không vượt quá 1,2 tỷ đồng.

Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại. Nếu là chủ cửa hàng thì em cần đầu tư kinh doanh mỗi loại bao nhiêu máy đề lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Giải

Giả sử cửa hàng cần nhập số máy điều hoà hai chiều là x và số máy điều hoà một chiều là y. Khi đó ta có \(x \ge 0,y \ge 0\).

Vì nhu cầu của thị trường không quá 100 máy nên \(x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} \le 100.\)

Số tiên để nhập hai loại máy điều hoà với số lượng như trên là: 20x + 10y (triệu đồng).

Số tiền tối đa để đầu tư cho hai loại máy là 1,2 tỉ đồng, nên ta có \(20x + 10y \le 1200\) hay \(2x + y \le 120\)

Từ đó ta thu được hệ bất phương trình bậc nhất hai ần sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
y \ge 0\\
x + y \le 100\\
2x + y \le 120
\end{array} \right.\) 

Lợi nhuận thu được khi bán x máy điều hoà hai chiều và y máy điều hoà một chiều là F(x;y) = 3,5x + 2y.

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của F(x, y) khi (x, y) thoả mãn hệ bắt phương trình trên.

Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên. Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với toạ độ các đỉnh O(0:0), A(0;100), B(20;80) và C(60;0) 

Tính giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của tứ giác này: F (0;0) = 0, F (0;100) = 200, F (20,80) = 230, F (60;0) = 210.

 So sánh các giá trị thu được của F ở Bước 2, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là F (20:80) = 230.

Vậy cửa hàng cần đầu tư kinh doanh 20 máy điều hoà hai chiều và 80 máy điều hoà một chiều để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Câu 1: Chỉ ra một nghiệm của hệ bất phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y > 0\\x - 3y < 6\\x - y \ge  - 4\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

Thay x=1; y=1 vào 3 bất phương trình ta được:

\(2.1 + 1 > 0\) (Đúng)

\(1 - 3.1 < 6\) (Đúng)

\(1 - 1 \ge  - 4\) (Đúng)

Vậy (1;1) là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Câu 2: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y >  - 3\\ - 2x + 3y < 6\\2x + y >  - 4\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

Vẽ đường thẳng \(3x - y =  - 3\) (nét đứt)

Thay tọa độ O vào \(3x - y >  - 3\) ta được \(3.0 - 0 >  - 3\) (Đúng)

Gạch đi phần không chứa O

Vẽ đường thẳng \( - 2x + 3y = 6\) (nét đứt)

Thay tọa độ O vào \( - 2x + 3y < 6\) ta được \( - 2.0 + 3.0 < 6\) (Đúng)

Gạch đi phần không chứa O

Vẽ đường thẳng \(2x + y =  - 4\)(nét đứt)

Thay tọa độ O vào \(2x + y >  - 4\) ta được \(2.0 + 0 >  - 4\) (Đúng)

Gạch đi phần không chứa O

Miền nghiệm của hệ là phần không bị gạch chéo:

Qua bài giảng trên, giúp các em học sinh:

- Hiểu được khái niệm BPT, hệ BPT bậc nhất hai ẩn; tập nghiệm của BPT, hệ BPT bậc nhất hai ẩn.

- Biết xác định miền nghiệm của BPT, hệ BPT bậc nhất hai ẩn.

- Áp dụng được vào bài toán thực tế.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Chương 2 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

  • A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {x + 3y - 6 > 0}\\
    {2x + y + 4 > 0}
    \end{array}} \right.\) 
  • B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {x + 3y - 6 > 0}\\
    {2x + y + 4 < 0}
    \end{array}} \right.\) 
  • C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {x + 3y - 6 < 0}\\
    {2x + y + 4 > 0}
    \end{array}} \right.\) 
  • D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {x + 3y - 6 < 0}\\
    {2x + y + 4 < 0}
    \end{array}} \right.\) 

• Câu 2:

  Trong các điểm cho sau đây, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + 3y - 2 \ge 0}\\ {2x + y + 1 \le 0} \end{array}} \right.\)

  • A. (0; 1);
  • B. (– 1; 1);
  • C. (1; 3);
  • D. (– 1; 0).

• Câu 3:

  Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = y – x trên miền xác định bởi hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y - 2x \le 2}\\ {2y - x \ge 4}\\ {x + y \le 5} \end{array}} \right.\) là:

  • A. min F(x; y) = 1 khi x = 2, y = 3;
  • B. min F(x; y) = 2 khi x = 0, y = 2;
  • C. min F(x; y) = 3 khi x = 1, y = 4;
  • D. min F(x; y) = 7 khi x = 6, y = – 1.

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Chương 2 Bài 2 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Câu hỏi khởi động trang 25 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 1 trang 25 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 1 trang 25 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 2 trang 26 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 2 trang 27 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 1 trang 29 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 2 trang 29 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 3 trang 29 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 4 trang 29 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 10 trang 29 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 11 trang 29 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 12 trang 29 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 13 trang 30 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 14 trang 30 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 15 trang 30 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 16 trang 30 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 17 trang 30 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 18 trang 31 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 19 trang 31 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!