Một điểm sáng đặt cách màn 2m. Giữa điểm sáng và màn người ta đặt một đĩa chắn sáng hình tròn sao cho đĩa song song với màn và điểm sáng mằn trên trục của đĩa.

a) Bán kính vùng tối trên tường là PT. ST = 2m = 200 cm.

∆SIM và ∆SPT là 2 tam giác vuông đồng dạng  nên bán kính vùng tối là

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{IM}{PT}=\frac{SM}{ST} \\ \iff PT=\frac{ST}{SM}.IM=\frac{200}{50}.\frac{d}{2}=40cm\left(\right) \end{gathered}$$  

Vậy đường kính vùng tối là dtối = 2.PT = 80 cm

b) Từ hình vẽ ta thấy để bán kính vùng tối giảm xuống  ta phải di chuyển tấm bìa về phía tường đến vị trí M1

Gọi P1T là bán kính bóng đen lúc này P1T = 1/2PT = 20 cm

∆SIM và ∆SPT là 2 tam giác vuông đồng dạng nên

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{I_1{M}_1}{P_{1}T}=\frac{S{M}_1}{ST} \\ \iff S{M}_1=\frac{I_1{M}_1}{P_{1}T}.ST=\frac{20}{40}.200=100 \end{gathered}$$

Vậy cần di chuyển tấm bìa về phía tường một đoạn

M1M = SM1 -  SM = 100-50=50 cm.

c) Khi tấm bìa di chuyển  đều với vận tốc v = 2m/s = 200 cm/s

và đi được quãng đường M1M = 50cm

thì mất thời gian  $t=\frac{M_{1}M}{v}=\frac{50}{200}=0,25\left(s\right)$.

Cũng trong khoảng thời gian đó đường kính của vùng tối thay đổi một đoạn là

PP1 = PT – P1T =  80– 40 = 40 cm

Vậy tốc độ thay đổi của bán kính vùng tối là

V’ = $\frac{P_{1}P}{t}=\frac{40}{0,25}=160cm/s=1,6m/s$

d)

Gọi O là tâm, MN là đường kính vật sáng hình cầu, P là giao của MA’ và NB’

Ta có

 $$\begin{gathered} \Delta P{A}_{{}_1}{B}_1~\Delta PA\text{'}B\text{'} \\ \Rightarrow \frac{P{I}_1}{PI\text{'}}=\frac{A_1{B}_1}{A\text{'}B\text{'}}=\frac{20}{80}=\frac{1}{4} \\ \Rightarrow 4P{I}_1=PI\text{'}=P{I}_1+II\text{'} \\ \Rightarrow 3P{I}_1=I_{1}I\text{'}\Rightarrow P{I}_1=\frac{I_{1}I\text{'}}{3}=\frac{100}{3}cm \end{gathered}$$

Ta lại có:

$$\begin{gathered} \Delta PMN~\Delta P{A}_1{B}_1\Rightarrow \frac{PO}{P{I}_1}=\frac{MN}{A_1{B}_1}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5} \\ \Rightarrow PO=\frac{2}{5}PI\Rightarrow PO=\frac{2}{5}.\frac{100}{3}=\frac{40}{3}cm \end{gathered}$$

mà OI1 = PI1 – PO =$\frac{100}{3}-\frac{40}{3}=\frac{60}{3}=20cm$.

Vậy cần đặt đĩa chắn sáng cách tâm vật sáng hình cầu là 20 cm

*) Gọi K là giao điểm của NA2 và MB2

Ta có

$\begin{array}{l}\Delta KMN~\Delta K{A}_1{B}_1\Rightarrow \frac{\text{KO}}{{\text{KI}}_{\text{1}}}\text{=}\frac{\text{MN}}{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{1}}}\text{=}\frac{\text{8}}{\text{20}}\text{=}\frac{\text{2}}{\text{5}}\\ \Rightarrow \text{KO = }\frac{\text{2}}{\text{5}}{\text{KI}}_{\text{1}}\text{=}\frac{\text{2}}{\text{5}}{\text{(OI}}_{\text{1}}\text{- OK) = }\frac{\text{2}}{\text{5}}{\text{OI}}_{\text{1}}\text{ - }\frac{\text{2}}{\text{5}}\text{OK}\\ \begin{array}{l}\Rightarrow \frac{2}{5}O{I}_1=\frac{7}{5}OK\Rightarrow OK=\frac{2}{7}O{I}_1=\frac{40}{7}cm\\ \Rightarrow K{I}_1=\frac{5}{2}OK=\frac{100}{7}cm\end{array}\end{array}$

Mặt khác ta có:

$\begin{array}{l}\Delta K{A}_1{B}_1~\Delta K{A}_2{B}_2\Rightarrow \frac{K{I}_1}{KI\text{'}}=\frac{A_1{B}_1}{A_2{B}_2}\\ \Rightarrow A_2{B}_2=\frac{KI\text{'}}{K{I}_1}{A}_1{B}_1=\frac{K{I}_1+I_{1}I\text{'}}{K{I}_1}{A}_1{B}_1\\ =\frac{\frac{100}{7}+100}{\frac{100}{7}}20=160cm\\ \\ \end{array}$

Vậy diện tích vùng nửa tối là:

S = $$\begin{gathered} \pi .\frac{A_2{B}_2^2}{4}-\pi .\frac{A\text{'}B{\text{'}}^2}{4}=\frac{\pi }{4}(A_2{B}_2^2-A\text{'}B{\text{'}}^2) \\ =\frac{3.14}{4}({160}_{}^2-{80}^2)=15.72c{m}^2 \end{gathered}$$