Sơ đồ cấu tạo của của một máy phun được vẽ như hình vẽ. Biết tiết diện tại \(A,B\) là \({{S}_{A}},{{S}_{B}}\); vận tốc và áp suất khí tại \(A\) là \({{v}_{A}},{{p}_{A}}\); khối lượng riêng của chất lỏng trong chậu là \(\rho \) và của luồng khí là \({\rho }'\); áp suất khí quyển trên mặt tháong trong chậu là \({{p}_{0}}\). Tìm giá trị cực đại của h để máy có thể hoạt động được.

- Áp dụng phương trình liên tục cho hai điểm A và B có cùng độ cao trong dòng khí của bơm, ta có:

\({{v}_{A}}{{S}_{A}}={{v}_{B}}{{S}_{B}}\Rightarrow {{v}_{B}}=\frac{{{S}_{A}}}{{{S}_{B}}}.{{v}_{A}}\) (1)

- Áp dụng định luật Béc-nu-li cho hai điểm A và B có cùng độ cao trong dòng khí của bơm, ta có:

\({{p}_{A}}+\frac{1}{2}{\rho }'v_{A}^{2}={{p}_{B}}+\frac{1}{2}{\rho }'v_{B}^{2}\) (2)

- Để bơm hoạt động được thì nước phải lên được đến B trong bơm (hình vẽ).

- Áp dụng định luật Béc-nu-li cho hai điểm đầu B và điểm cuối C trong cột nước, với vận tốc của nước tại B là v và vận tốc của nước tại C bằng 0:

\({{p}_{B}}+\frac{1}{2}\rho {{v}^{2}}+\rho gh={{p}_{0}}\)

\(\Rightarrow {{p}_{B}}={{p}_{0}}-\frac{1}{2}\rho {{v}^{2}}-\rho gh\) (3)

- Thay (1) và (3) vào (2) ta được:

\({{p}_{A}}+\frac{1}{2}{\rho }'v_{A}^{2}={{p}_{0}}-\frac{1}{2}\rho {{v}^{2}}-\rho gh+\frac{1}{2}{\rho }'{{\left( \frac{{{S}_{A}}}{{{S}_{B}}}.{{v}_{A}} \right)}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow \rho gh={{p}_{0}}-\frac{1}{2}\rho {{v}^{2}}+\frac{1}{2}{\rho }'{{\left( \frac{{{S}_{A}}}{{{S}_{B}}}.{{v}_{A}} \right)}^{2}}-{{p}_{A}}-\frac{1}{2}{\rho }'v_{A}^{2}\)

\(\Leftrightarrow \rho gh={{p}_{0}}-{{p}_{A}}+\frac{1}{2}{\rho }'v_{A}^{2}\left( \frac{S_{A}^{2}-S_{B}^{2}}{S_{B}^{2}} \right)-\frac{1}{2}\rho {{v}^{2}}\)

\(\Rightarrow h=\frac{1}{\rho g}\left( {{p}_{0}}-{{p}_{A}}+\frac{1}{2}{\rho }'v_{A}^{2}\left( \frac{S_{A}^{2}-S_{B}^{2}}{S_{B}^{2}} \right)-\frac{1}{2}\rho {{v}^{2}} \right)\)

Điều kiện: \(v\ge 0\Rightarrow h\le \frac{1}{\rho g}\left( {{p}_{0}}-{{p}_{A}}+\frac{1}{2}{\rho }'v_{A}^{2}\left( \frac{S_{A}^{2}-S_{B}^{2}}{S_{B}^{2}} \right) \right)\)

Suy ra: \({{h}_{\max }}=\frac{1}{\rho g}\left( {{p}_{0}}-{{p}_{A}}+\frac{1}{2}{\rho }'v_{A}^{2}\left( \frac{S_{A}^{2}-S_{B}^{2}}{S_{B}^{2}} \right) \right).\)

Vậy để máy có thể hoạt động được thì

\({{h}_{\max }}=\frac{1}{\rho g}\left( {{p}_{0}}-{{p}_{A}}+\frac{1}{2}{\rho }'v_{A}^{2}\left( \frac{S_{A}^{2}-S_{B}^{2}}{S_{B}^{2}} \right) \right).\)