Một lượng khí lí tưởng thực hiện một chu trình được biểu diễn trong hệ tọa độ p – T có dạng là một đường tròn như hình vẽ. Đơn vị của các trục được lựa chọn là pc và Tc. Nhiệt độ thấp nhất trong chu trình là To. Tìm tỉ số giữa khối lượng riêng lớn nhất ρ1 và nhỏ nhất ρ2 của lượng khí đó khi thay đổi trạng thái theo chu trình trên.

- Từ O, kẻ các đường đẳng tích qua 2 điểm A và B trên đường tròn. Ta thấy, thể tích lớn nhất của chất khí này là V_B và nhỏ nhất là V_A.

- Với lượng khí xác định: \(m = pV \Rightarrow \frac{{{V_A}}}{{{V_B}}} = \frac{{{\rho _1}}}{{{\rho _2}}}\)

- Theo phương trình trạng thái của khí lí tưởng, ta có: \(\frac{{{p_A}{V_A}}}{{{T_A}}} = \frac{{{p_B}{V_B}}}{{{T_B}}}\)

\( \Rightarrow \frac{{{\rho _1}}}{{{\rho _2}}} = \frac{{{p_B}{T_A}}}{{{p_A}{T_B}}} = \frac{{\left( {\frac{{{p_B}}}{{{p_C}}}} \right)\left( {\frac{{{T_A}}}{{{T_C}}}} \right)}}{{\left( {\frac{{{T_B}}}{{{T_C}}}} \right)\left( {\frac{{{p_A}}}{{{p_C}}}} \right)}} = {\tan ^2}\beta \)

- Mặt khác: \(\alpha  + \beta  = \frac{\pi }{4}\)

\( \Rightarrow \frac{{{\rho _1}}}{{{\rho _2}}} = {\tan ^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = {\left( {\frac{{1 - \tan \alpha }}{{1 + \tan \alpha }}} \right)^2}\)

- Từ hình vẽ, ta có: \(\tan \alpha  = \frac{{CB}}{{OB}} = \frac{r}{{OB}}\), (r : bán kính vòng tròn)

- Ngoài ra : \(OC = \sqrt 2  \Rightarrow OB = \sqrt {2 - {r^2}} \)

- Thay vào công thức trên : \( \Rightarrow \frac{{{\rho _1}}}{{{\rho _2}}} = \frac{{1 - r\sqrt {2 - {r^2}} }}{{1 + r\sqrt {2 - {r^2}} }}\)

- Ngoài ra, từ hình vẽ ta thấy bán kính ra của chu trình và nhiệt độ thấp nhất T_o còn có quan hệ: \(r = 1 - \frac{{{T_o}}}{{{T_C}}}\)

\( \Rightarrow \frac{{{\rho _1}}}{{{\rho _2}}} = \frac{{1 - \left( {1 - \frac{{{T_o}}}{{{T_C}}}} \right)\sqrt {1 + 2\frac{{{T_o}}}{{{T_C}}} - {{\left( {\frac{{{T_o}}}{{{T_C}}}} \right)}^2}} }}{{1 + \left( {1 - \frac{{{T_o}}}{{{T_C}}}} \right)\sqrt {1 + 2\frac{{{T_o}}}{{{T_C}}} - {{\left( {\frac{{{T_o}}}{{{T_C}}}} \right)}^2}} }}\)

- Vậy : tỉ số giữa khối lượng riêng lớn nhất ρ₁ và nhỏ nhất ρ₂ của lượng khí đó là :

\(\frac{{{\rho _1}}}{{{\rho _2}}} = \frac{{1 - \left( {1 - \frac{{{T_o}}}{{{T_C}}}} \right)\sqrt {1 + 2\frac{{{T_o}}}{{{T_C}}} - {{\left( {\frac{{{T_o}}}{{{T_C}}}} \right)}^2}} }}{{1 + \left( {1 - \frac{{{T_o}}}{{{T_C}}}} \right)\sqrt {1 + 2\frac{{{T_o}}}{{{T_C}}} - {{\left( {\frac{{{T_o}}}{{{T_C}}}} \right)}^2}} }}\)