Một khối gỗ khối lượng m có tiết diện là một tam giác vuông cân có thể trượt không ma sát trên mặt sàn nằm ngang. Hai vật nhỏ có khối lượng m và 2m được nối với nhau bằng một sợi dây vắt qua ròng rọc như hình vẽ. Chiều dài của đáy khối là L = 54cm.

a) Độ dịch chuyển của khối gỗ.

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ.

- Xét hệ gồm 3 vật m, 2m và khối gỗ. Theo phương nằm ngang, ngoại lực tác dụng lên hệ bằng 0 nên tọa độ khối tâm của vật G: \({{x}_{G}}=const.\)

   + Lúc đầu: \({{x}_{1}}=\frac{L}{2},{{x}_{2}}={{x}_{3}}=0;\)

\({{x}_{G}}=\frac{m.\frac{L}{2}}{m+2m+m}=\frac{L}{8}\)                              (1)

  + Khi vật 2m chạm sàn: 

\({{x}_{1}}={{x}_{3}},{{x}_{2}}={{x}_{3}}-\frac{L}{2}\left( {{x}_{2}}<0 \right):\)

\({{x}_{G}}=\frac{m{{x}_{1}}+2m{{x}_{2}}+m{{x}_{3}}}{m+2m+m}=\frac{{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+{{x}_{3}}}{4}\)

\(\Leftrightarrow {{x}_{G}}=\frac{2{{x}_{3}}+\left( {{x}_{3}}-\frac{L}{2} \right)}{4}\Rightarrow {{x}_{G}}={{x}_{3}}-\frac{L}{4}\)          (2)

- Từ (1) và (2) ta thấy khối gỗ dịch chuyển sang bên trái một đoạn :

\({{x}_{3}}=\frac{3L}{8}=\frac{3.54}{8}=20,25cm\)

Vậy: Khi vật 2m đến đáy khối thì khối gỗ dịch chuyển sang bên trái một đoạn \({{x}_{3}}=20,25cm.\)

b) Vận tốc của các vật và của khối gỗ

Gọi u là vận tốc của vật (1) và (2) đối với khối gỗ (3)  và v là vận tốc của khối (3) tại thời điểm vật (2) tới đáy khối gỗ.

- Theo công thức cộng vận tốc, ta có: \({{\overrightarrow{v}}_{1}}={{\overrightarrow{u}}_{1}}+\overrightarrow{v};{{\overrightarrow{v}}_{2}}={{\overrightarrow{u}}_{2}}+\overrightarrow{v}.\)

- Chiếu các hệ thức vectơ trên lên trục Ox, ta được: \(\left\{ \begin{align}

  & {{v}_{1x}}=v-u\cos 45{}^\circ  \\

 & {{v}_{2x}}=v-u\cos 45{}^\circ  \\

\end{align} \right..\)

- Trên các giản đồ, ta có: \(v_{1}^{2}=v_{2}^{2}={{v}^{2}}+{{u}^{2}}-\sqrt{2}uv\)                           (3)

- Áp dụng các định luật bảo toàn động lượng (theo phương ngang) và bảo toàn năng lượng, ta được :

\(m{{v}_{1x}}+mv+2m{{v}_{2x}}=0\Leftrightarrow v-\frac{\sqrt{2}}{2}u+v+2v-2\frac{\sqrt{2}}{2}u=0\)

\(\Rightarrow u=\frac{4\sqrt{2}}{3}\)                                               (4)

Và \(2mg\frac{L}{2}=\frac{mv_{1}^{2}}{2}+\frac{2mv_{2}^{2}}{2}+\frac{m{{v}^{2}}}{2}+mg\frac{L}{2}\)

\(\Rightarrow v_{1}^{2}=v_{2}^{2}=\frac{1}{3}\left( gL-{{v}^{2}} \right)\)                 (5)

- Từ (3), (4), (5) ta được:

  \(v=\sqrt{\frac{3gl}{20}}=\sqrt{\frac{3.10.54}{20}}=0,9\left( \text{m/s} \right)\text{;}\)

\({{v}_{1}}={{v}_{2}}=\sqrt{\frac{17gl}{60}}=\sqrt{\frac{17.10.54}{60}}\approx 1,24\left( \text{m/s} \right)\text{.}\)

Vậy : Vận tốc của các vật và của khối gỗ khi vật (2) đến đáy khối gỗ là \({{v}_{1}}={{v}_{2}}=1,2\text{4}\left( \text{m/s} \right)\)và \(v=0,9\left( \text{m/s} \right)\text{.}\)