OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Tìm Min của 1/xy + 1/x^2 + y^2 + cănxy/x + y

cho x,y dương thỏa \(\left(x+y-1\right)^2=xy\)

tìm MIN \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y}\)

  bởi Chai Chai 22/02/2019
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • ta có : \(\left(x+y-1\right)^2=xy\Leftrightarrow x^2+y^2+xy-2x-2y+1=0\)

    \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+xy-1=0\)

    \(0=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+xy-1\ge xy-1\)

    \(\Leftrightarrow xy\le1\)

    \(xy=\left(x+y-1\right)^2\le1\Leftrightarrow-1\le x+y-1\le1\)

    \(\Leftrightarrow0\le x+y\le2\).

    \(VT=\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y}\)

    Áp dụng bất đẳng thức cauchy dạng phân thức:

    \(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge\dfrac{4}{4}=1\)(*)

    \(xy\le1\)nên \(\sqrt{xy}\ge xy\)( đúng vì nó tương đương \(\sqrt{xy}\left(1-\sqrt{xy}\right)\ge0\))

    \(\Rightarrow\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y}\ge\dfrac{1}{2\sqrt{xy}}+\dfrac{\sqrt{xy}}{2}\)( vì \(x+y\le2\))

    Áp dụng bất đẳng thức cauchy: \(\dfrac{1}{2\sqrt{xy}}+\dfrac{\sqrt{xy}}{2}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{2\sqrt{xy}}.\dfrac{\sqrt{xy}}{2}}=1\)(**)

    từ (*) và (**) ta có \(VT\ge1+1=2\)

    đẳng thức xảy ra khi x=y=1

      bởi Nguyễn Thái 22/02/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF