OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Tìm max của A=1/căn(x+y+1)+1/căn(y+z+1)+1/căn(z+x+1)

cho x,y,z>0 thỏa mãn x.y.z=1

tìm max của \(A=\dfrac{1}{\sqrt{x+y+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{y+z+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{z+x+1}}\)

  bởi Duy Quang 31/10/2018
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • Lời giải:
    Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

    \(A^2=\left ( \frac{1}{\sqrt{x+y+1}}+\frac{1}{\sqrt{y+z+1}+\frac{1}{\sqrt{z+x+1}}} \right )^2\leq (1+1+1)\left(\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\right)\)

    \(\Leftrightarrow A^2\leq 3\underbrace{\left(\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\right)}_{M}\) \((1)\)

    Xét M

    Do $xyz=1$ nên tồn tại các số $a,b,c>0$ sao cho \((x,y,z)=\left(\frac{a^2}{bc},\frac{b^2}{ac},\frac{c^2}{ab}\right)\)

    Khi đó \(M=\frac{abc}{a^3+b^3+abc}+\frac{abc}{b^3+c^3+abc}+\frac{abc}{c^3+a^3+abc}\)

    Với \(a,b>0\) ta luôn có BĐT sau: \(a^3+b^3\geq ab(a+b)\)

    BĐT này luôn đúng vì tương đương với \((a+b)(a-b)^2\geq 0\)

    Do đó, \(a^3+b^3+abc\geq ab(a+b)+abc=ab(a+b+c)\)

    \(\Rightarrow \frac{abc}{a^3+b^3+abc}\leq \frac{abc}{ab(a+b+c)}=\frac{c}{a+b+c}\)

    Thiết lập tương tự với các phân thức còn lại suy ra

    \(M\leq \frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=1\Rightarrow 3M\leq 3\) \((2)\)

    Từ \((1),(2)\Rightarrow A^2\leq 3\Leftrightarrow A\leq \sqrt{3}\Rightarrow A_{\max}=\sqrt{3}\)

    Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)

      bởi Nguyen Tran Mai Anh 31/10/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9