OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Tìm GTNN của P = x^2/y+z + y^2/z + x + z^2/x + y

Cho x,y,z > 0 và x + y + x = 4. Tìm GTNN của \(P=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\)

  bởi Phan Thiện Hải 22/02/2019
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • P=\(\dfrac{x^2}{y+z}\)+\(\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\)

    P+x+y+z=\(\dfrac{x^2}{y+z}+x+\dfrac{y^2}{x+z}+y+\dfrac{z^2}{x+y}+z\)

    =\(\dfrac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}+\dfrac{y\left(x+y+z\right)}{x+z}+\dfrac{z\left(x+y+z\right)}{x+y}\)

    =(x+y+z)(\(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}\))(*)

    ta chứng minh bất đẳng thức phụ:

    \(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}\ge\dfrac{3}{2}\)

    ta có:\(\dfrac{x}{y+z}+1+\dfrac{y}{x+z}+1+\dfrac{z}{x+y}+1\ge\dfrac{9}{2}\)

    (x+y+z)(\(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{x+z}\))\(\ge\dfrac{9}{2}\)

    đặt a=x+y;b=y+z;c=z+x, ta có bất phương trình sau:

    \(\dfrac{a+b+c}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{9}{2}\)(**)

    mà a+b+c\(\ge3\sqrt[3]{abc}\);\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)

    <=>(a+b+c)(\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\))\(\ge\)9

    =>(**) được chứng minh

    thay vào (*) ta được:P=(x+y+z)(\(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}-1\))

    \(\ge\)4(\(\dfrac{3}{2}-1\))=2

      bởi Lan Anh Nguyễn 22/02/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9