OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a^3 + b^3 + c^3

Cho các số thực a; b; c > -1 thoả mãn \(a^2+b^2+c^2=27\)

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=a^3+b^3+c^3\)

  bởi Bi do 29/01/2019
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • Lời giải:

    Đặt \((a,b,c)=(x-1,y-1,z-1)\Rightarrow x,y,z>0\)

    Điều kiện: \(a^2+b^2+c^2=27\)

    \(\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=27\)

    \(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=24+2(x+y+z)(*)\)

    Ta có:

    \(P=(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3\)

    \(=x^3+y^3+z^3-3(x^2+y^2+z^2)+3(x+y+z)-3\)

    Áp dụng BĐT AM-GM:

    \(x^3+16x\geq 8x^2;y^3+16y\geq 8y^2; z^3+16z\geq 8z^2\)

    \(\Rightarrow P\geq 5(x^2+y^2+z^2)-13(x+y+z)-3\)

    \(\Leftrightarrow P\geq 5[24+2(x+y+z)]-13(x+y+z)-3\)

    \(\Leftrightarrow P\geq 120-3(x+y+z)-3\)

    Áp dụng AM-GM cho $(*)$ thì:

    \(24+3(x+y+z)\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}\). Coi $x+y+z=t$ là biến, giải BPT suy ra \(t=x+y+z\leq 12\)

    \(\Rightarrow P\geq 120-3.12-3=81\)

    Vậy $P_{\min}=81$ khi $a=b=c=3$

      bởi Trần Hiền 29/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9