OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Chứng minh (x+y)(y+z)(z+x) > = 1+x+y+z

cho x,y,z>0 và xyz=1. chứng minh rằng \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge1+x+y+z\)

  bởi Đào Lê Hương Quỳnh 31/10/2018
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • Lời giải:

    Sửa đề: \((x+y)(y+z)(x+z)\geq 2(1+x+y+z)\)

    Áp dụng BĐT AM-GM:

    \((x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=9xyz\)

    \(\Leftrightarrow xyz\leq \frac{(x+y+z)(xy+yz+xz)}{9}\)

    Ta thực hiện biến đổi:

    \((x+y)(y+z)(z+x)=xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)+2xyz\)

    \(=(x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz\geq (x+y+z)(xy+yz+xz)-\frac{(x+y+z)(xy+yz+xz)}{9}\)

    \(\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(x+z)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+xz)\)

    Theo hệ quả của BĐT AM-GM:

    \((xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)=3(x+y+z)\)

    \(\Rightarrow xy+yz+xz\geq \sqrt{3(x+y+z)}\)

    \(\Rightarrow (x+y)(y+z)(x+z)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)\sqrt{3(x+y+z)}\)

    Ta sẽ cm \(\frac{8}{9}(x+y+z)\sqrt{3(x+y+z)}\geq 2(1+x+y+z)\)

    Đặt \(\sqrt{3(x+y+z)}=t\). Dễ thấy \(x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3\Rightarrow t\geq 3\)

    Ta cần cm \(\frac{8}{9}.\frac{t^2}{3}.t\geq 2(1+\frac{t^2}{3})\Leftrightarrow 8t^3\geq 18(3+t^2)\)

    \(\Leftrightarrow (t-3)(8t^2+6t+18)\geq 0\) (luôn đúng với \(t\geq 3\))

    Do đó ta có đpcm

    Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$

      bởi Hồng Phúc 31/10/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9