OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Chứng minh rằng A=căn(a^2/a^2+b+c)+căn(b^2/b^2+c+a)+căn(c^2/c^2+a+b)≤căn3

cho a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)

chứng mỉnh rằng \(A=\sqrt{\dfrac{a^2}{a^2+b+c}}+\sqrt{\dfrac{b^2}{b^2+c+a}}+\sqrt{\dfrac{c^2}{c^2+a+b}}\le\sqrt{3}\)

  bởi Tuấn Huy 30/01/2019
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

    \(\left(a^2+b+c\right)\left(1+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

    \(\Rightarrow a^2+b+c\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{1+b+c}\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a^2}{a^2+b+c}}\le\dfrac{a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}\)

    Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

    \(A\le\dfrac{a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b}}{a+b+c}\)

    Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

    \(a\sqrt{1+b+c}=\dfrac{\sqrt{3a}\sqrt{a+ab+bc}}{\sqrt{3}}\le\dfrac{4a+ab+bc}{2\sqrt{3}}\)

    Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

    \(\Rightarrow\dfrac{a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b}}{a+b+c}\le\dfrac{2(a+b+c)+(ab+bc+ca)}{\sqrt{3}(a+b+c)}\)

    \(\le\dfrac{2(a+b+c)+\dfrac{(a+b+c)^2}{3}}{\sqrt{3}(a+b+c)}\le\dfrac{2+\dfrac{a+b+c}{3}}{\sqrt{3}}\le\sqrt{3}\)

    Hay \(A\le\sqrt{3}\) *ĐPCM*

      bởi Koshiba Kiri 30/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9