OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Chứng minh rằng a-bc/a+bc + b-ca/b+ca + c-ab/c+ab

Cho a,b,c\(\in R^+\) thõa mãn \(a+b+c=1\). CMR :

\(\dfrac{a-bc}{a+bc}+\dfrac{b-ca}{b+ca}+\dfrac{c-ab}{c+ab}\le\dfrac{3}{2}\)

  bởi Lê Nhật Minh 14/01/2019
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • Lời giải:

    Ta có:

    \(\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\leq \frac{3}{2}\)

    \(\Leftrightarrow \frac{a-bc}{a(a+b+c)+bc}+\frac{b-ac}{b(a+b+c)+ca}+\frac{c-ab}{c(a+b+c)+ab}\leq \frac{3}{2}\)

    \(\Leftrightarrow \frac{a-bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{b-ac}{(b+a)(b+c)}+\frac{c-ab}{(c+a)(c+b)}\leq \frac{3}{2}\)

    \(\Leftrightarrow \frac{(a-bc)(b+c)+(b-ac)(a+c)+(c-ab)(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{3}{2}\)

    \(\Leftrightarrow (a-bc)(b+c)+(b-ac)(a+c)+(c-ab)(a+b)\leq \frac{3}{2}(a+b)(b+c)(c+a)\)

    \(\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)-[ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)]\leq \frac{3}{2}(1-a)(1-b)(1-c)\)

    \(\Leftrightarrow 4(ab+bc+ac)-2[ab(a+b)+bc(b+c)+ac(c+a)]\leq 3(ab+bc+ac-abc)\)

    \(\Leftrightarrow ab+bc+ac+3abc\leq 2[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]\)

    \(\Leftrightarrow ab+bc+ac+9abc\leq 2[ab(a+b+c)+bc(a+b+c)+ac(a+b+c)]\)

    \(\Leftrightarrow ab+bc+ac+9abc\leq 2(a+b+c)(ab+bc+ac)\)

    \(\Leftrightarrow ab+bc+ac+9abc\leq 2(ab+bc+ac)\)

    \(\Leftrightarrow 9abc\leq ab+bc+ac\)

    \(\Leftrightarrow 9abc\leq (a+b+c)(ab+bc+ac)\)

    BĐT trên luôn đúng do theo BĐT AM-GM ta có:

    \((a+b+c)(ab+bc+ac)\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=9abc\)

    Vậy ta có đpcm

    Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)


      bởi phạm bích ngọc 14/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9