OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Chứng minh rằng a^2/(2a+b)(2a+c)

a,b,c>0 CMR

\(\sum\dfrac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}\le\dfrac{1}{3}\)

  bởi Van Tho 04/01/2019
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

    \(\dfrac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}=\dfrac{a^2}{4a^2+2ab+2ac+bc}=\dfrac{a^2}{2a\left(a+b+c\right)+\left(2a^2+bc\right)}\)

    \(\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{a^2}{a\left(a+b+c\right)}+\dfrac{a^2}{a\left(a+b+c\right)}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)

    \(=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2a^2}{a\left(a+b+c\right)}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)\(=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)

    Suy ra BĐT cần chứng minh viết lại như sau:

    \(\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{b^2}{2b^2+ca}+\dfrac{c^2}{2c^2+ab}\right)\le\dfrac{1}{3}\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{b^2}{2b^2+ca}+\dfrac{c^2}{2c^2+ab}\le\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{9}}-2=1\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{2a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{2b^2}{2b^2+ca}+\dfrac{2c^2}{2c^2+ab}\le2\)

    \(\Leftrightarrow\left(1-\dfrac{2a^2}{2a^2+bc}\right)+\left(1-\dfrac{2b^2}{2b^2+ca}\right)+\left(1-\dfrac{2c^2}{2c^2+ab}\right)\ge1\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{bc}{2a^2+bc}+\dfrac{ca}{2b^2+ca}+\dfrac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)

    Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

    \(\dfrac{bc}{bc+2a^2}=\dfrac{b^2c^2}{b^2c^2+2a^2bc}\ge\dfrac{b^2c^2}{b^2c^2+a^2\left(b^2+c^2\right)}=\dfrac{b^2c^2}{a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2}\)

    Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

    \(\dfrac{ca}{2b^2+ca}\ge\dfrac{c^2a^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2};\dfrac{ab}{2c^2+ab}\ge\dfrac{a^2b^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\)

    Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

    \(\dfrac{bc}{2a^2+bc}+\dfrac{ca}{2b^2+ca}+\dfrac{ab}{2c^2+ab}\ge\dfrac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}=1\)

    Vậy BĐT cuối đúng hay ta có ĐPCM

      bởi Hươngg Vũ 04/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9