OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Chứng minh rằng 1/2căn1+1/3căn2+1/4căn3+...+1/(n+1)cănn

CMR n\(\in\)N, n>3

a,\(\frac{1}{2\sqrt{1} }+\frac{1}{3\sqrt{2} } +\frac{1}{4\sqrt{3} }+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n} }<2 \)

b,S=\(\frac{1}{3(1+\sqrt{2}) }+\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3} }+...+\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}) } \)

  bởi Phan Thị Trinh 12/02/2019
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • a, Chắc xét hàm số tổng quát!

    Xét hàm số tổng quát:

    \(\dfrac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}=\dfrac{\sqrt{k}}{k\left(k+1\right)}=\sqrt{k}\left(\dfrac{1}{k\left(k+1\right)}\right)\)

    \(=\sqrt{k}\left[\sqrt{\dfrac{1}{k}}^2-\sqrt{\dfrac{1}{k+1}}^2\right]\)

    \(=\sqrt{k}\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)

    \(=\left(1+\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)

    Vì \(\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}< 1\Rightarrow1+\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}< 2\)

    Do đó \(\left(1+\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)< 2.\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)

    \(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\) (1)

    Áp dụng điểu (1) ta được:

    \(\dfrac{1}{2}< 2\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\)

    \(\dfrac{1}{3\sqrt{2}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\)

    ...................................

    \(\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

    \(\Rightarrow\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+....+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+....+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

    \(\Rightarrow\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

    Với mọi giá trị của \(n>0\) ta luôn có: \(\sqrt{n+1}>0\)

    Do đó \(\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\) (đpcm)

      bởi Thương Hoài 12/02/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9