OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Chứng minh căn2 + căn3 + căn5 thuộc I

Chứng minh \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\in I\)

  bởi Mai Hoa 15/01/2019
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • Lời giải:

    Phản chứng. Giả sử \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\in \mathbb{Q}\). Khi đó đặt \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}=q(q\in\mathbb{Q})\)

    \(\Leftrightarrow \sqrt{2}+\sqrt{3}=q-\sqrt{5}\)

    \(\Rightarrow (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=(q-\sqrt{5})^2\)

    \(\Leftrightarrow 5+2\sqrt{6}=q^2+5-2q\sqrt{5}\)

    \(\Leftrightarrow 2\sqrt{6}=q^2-2q\sqrt{5}\)

    \(\Rightarrow 24=q^4+20q^2-4q^3\sqrt{5}\) (bình phương hai vế)

    \(\Leftrightarrow q^4+20q^2-24=4q^3\sqrt{5}(*)\)

    Vế trái là một số hữu tỉ, vế phải là vô tỉ do \(4q^3\in\mathbb{Q}, \sqrt{5}\not\in \mathbb{Q}\) do đó \((*)\) vô lý. Tức là điều giả sử sai.

    Do đó \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\in\mathbb{I}\)

    ----------------------------

    Chứng minh \(\sqrt{5}\in\mathbb{I}\)

    Giả sử nó là số hữu tỉ. Khi đó tồn tại \(a,b\in\mathbb{N}; (a,b)=1\) sao cho \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\Rightarrow 5=\frac{a^2}{b^2}\)

    \(\Rightarrow a^2=5b^2\Rightarrow a^2\vdots 5\rightarrow a\vdots 5\)

    Đặt \(a=5k(k\in\mathbb{N})\) \(\Rightarrow 25k^2=5b^2\Leftrightarrow 5k^2=b^2\Rightarrow b^2\vdots 5\Rightarrow b\vdots 5\)

    Khi đó \(\text{ƯCLN}(a,b)\geq 5\) (vô lý vì \((a,b)=1\) )

    Do đó \(\sqrt{5}\in\mathbb{I}\)

      bởi Nguyễn Công 15/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9