OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Chứng minh bất đẳng thức a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca

Cho a,b,c,d,e \(\in\)\(R\) . Chứng minh các BĐT sau:

a/ a2 + b2 + c2 \(\ge\) ab + bc + ca

b/ a2 + b2 +1 \(\ge\) ab + a + b

c/ a2 + b2 +c2 + 3 \(\ge\) 2( a + b + c)

d/ a2 + b2 + c2 \(\ge\) 2( ab + bc - ca)

e/ a4 + b4 + c2 +1 \(\ge\) 2a( ab2 - a +c +1)

f/ \(\dfrac{a^2}{4}\)+ b2 + c2 \(\ge\) ab - ac +2bc

g/ a2 (1+b2) + b2 (1+c2) +c2 (1+a2) \(\ge\) 6abc

h/ a2 +b2+ c2+ d2+ e2 \(\ge\) a(b+c+d+e)

i/ \(\dfrac{1}{a}\)+ \(\dfrac{1}{b}\)+\(\dfrac{1}{c}\) \(\ge\) \(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\)+\(\dfrac{1}{\sqrt{bc}}\)+\(\dfrac{1}{\sqrt{ca}}\) , (a,b,c > 0)

j/ a+b+c \(\ge\) \(\sqrt{ab}\)+\(\sqrt{bc}\)+\(\sqrt{ca}\) ( a,b,c \(\ge\)0)

  bởi Lê Minh Hải 15/01/2019
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • a) \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

    \(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)

    \(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)

    \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

    (Luôn đúng)

    Vậy ta có đpcm.

    Đẳng thức khi \(a=b=c\)

    b) \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

    \(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)

    \(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2b+1+a^2-2a+1\ge0\)

    \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\)

    (Luôn đúng)

    Vậy ta có đpcm

    Đẳng thức khi \(a=b=1\)

    Các bài tiếp theo tương tự :v

    g) \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\ge6\sqrt[6]{a^2.a^2b^2.b^2.b^2c^2.c^2.c^2a^2}=6abc\)

    i) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}=\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)

    Tương tự: \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{\sqrt{bc}};\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ca}}\)

    Cộng vế theo vế rồi rút gọn cho 2, ta được đpcm

    j) Tương tự bài i), áp dụng Cauchy, cộng vế theo vế rồi rút gọn được đpcm

      bởi hương moon 15/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9