OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Cho biết \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 3ab\).

Cho biết \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a + b + c = 1\).  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức  \(P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 3ab\). 

  bởi Hoai Hoai 09/07/2021
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • Vì \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a + b + c = 1\) nên \(0 \le a,\,\,b,\,\,c \le 1\).

    *) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 3ab\)

    \(\begin{array}{l}P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 3ab\\P = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ac - 2ab - 2bc - 2ac - 3ab\\P = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 5ab - 2bc - 2ac\\P = 1 - 5ab - 2bc - 2ac\\P = 1 - \left( {5ab + 2bc + 2ac} \right)\end{array}\)

    \( \Rightarrow P \le 1\) với \(0 \le a,\,\,b,\,\,c \le 1\)

    Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = 0,\,\,c = 1\\a = c = 0,\,\,b = 1\\b = c = 0,\,\,a = 1\end{array} \right.\)

    Vậy \(P\) đạt giá lớn nhất bằng 1 khi

     \(\left[ \begin{array}{l}a = b = 0,\,\,c = 1\\a = c = 0,\,\,b = 1\\b = c = 0,\,\,a = 1\end{array} \right.\)

    *) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 3ab\)

    \(\begin{array}{l}P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 3ab\\P = {a^2} - 2ab + {b^2} + {c^2} - ab\\P = {\left( {a - b} \right)^2} + {c^2} - ab\end{array}\)

    Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(a\) và \(b\) ta có:

    \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)\( \Leftrightarrow \sqrt {ab}  \le \frac{{a + b}}{2}\)

    \( \Leftrightarrow ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\)\( \Leftrightarrow  - ab \ge  - \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\)

    \( \Leftrightarrow  - ab \ge  - \frac{{{{\left( {1 - c} \right)}^2}}}{4}\)

    \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow P = {\left( {a - b} \right)^2} + {c^2} - ab \ge {\left( {a - b} \right)^2} + {c^2} - \frac{{{{\left( {1 - c} \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow P \ge {\left( {a - b} \right)^2} + {c^2} - \frac{1}{4}\left( {1 - 2c + {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow P \ge {\left( {a - b} \right)^2} + {c^2} - \frac{1}{4}{c^2} + \frac{1}{2}c - \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow P \ge {\left( {a - b} \right)^2} + \frac{3}{4}{c^2} + \frac{1}{2}c - \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow P \ge {\left( {a - b} \right)^2} + \frac{3}{4}\left( {{c^2} + \frac{2}{3}c} \right) - \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow P \ge {\left( {a - b} \right)^2} + \frac{3}{4}\left( {{c^2} + 2.c.\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \right) - \frac{1}{{12}} - \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow P \ge {\left( {a - b} \right)^2} + \frac{3}{4}{\left( {c + \frac{1}{3}} \right)^2} - \frac{1}{3} \ge  - \frac{1}{3}\end{array}\)

    Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi

     \(\left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\c + \frac{1}{3} = 0\\a + b + c = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = \frac{2}{3}\\c =  - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)

    Vậy \(P\) đạt giá nhỏ nhất bằng \( - \frac{1}{3}\) khi \(a = b = \frac{2}{3}\), \(c =  - \frac{1}{3}\).

      bởi Truc Ly 10/07/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9