OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Biết x,y là các số thực dương thỏa mãn \(x + y \le 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right).\sqrt {1 + {x^2}{y^2}} \).

Biết x,y là các số thực dương thỏa mãn \(x + y \le 1\).  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right).\sqrt {1 + {x^2}{y^2}} \). 

  bởi Nguyễn Thị Thúy 09/07/2021
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • Có x, y là các số thực dương \( \Rightarrow \dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y}\) là các số thực dương

    Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được : \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}  = \dfrac{2}{{\sqrt {xy} }}\)

    Vậy \(P \ge \dfrac{2}{{\sqrt {xy} }}.\sqrt {1 + {x^2}{y^2}}  = 2\sqrt {\dfrac{1}{{xy}} + xy} \)

    Ta có : \(1 \ge x + y \ge 2\sqrt {xy} \)(do x, y là hai số thực dương)\( \Rightarrow xy \le \dfrac{1}{4}\)

    \(\dfrac{1}{{xy}} + xy = \dfrac{1}{{16xy}} + xy + \dfrac{{15}}{{16}}.\dfrac{1}{{xy}} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{{16xy}}.xy}  + \dfrac{{15}}{{16}}\dfrac{1}{{\dfrac{1}{4}}} = 2.\dfrac{1}{4} + \dfrac{{15}}{4} = \dfrac{{17}}{4}\)

    \( \Rightarrow P \ge 2\sqrt {\dfrac{{17}}{4}}  = \sqrt {17} \). Dấu ‘=’ xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\x + y = 1\\xy = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{2}\)

    Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(\sqrt {17} \) đạt được khi \(x = y = \dfrac{1}{2}.\)

      bởi Nguyễn Thủy 10/07/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9