OPTADS360
ATNETWORK
RANDOM
ON
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

:| ; =)) ; :)) Đề : Cho 3 số thức dương thỏa mãn

:| ; =)) ; :))

Đề : Cho 3 số thức dương thỏa mãn

\(xy+yz+zx=1\)

Chứng minh rằng : \(\frac{1}{1+xy+z^2}+\frac{1}{1+yz+x^2}+\frac{1}{1+zx+y^2}\le\frac{9}{5}\)

  bởi Nguyễn Thanh Hà 25/08/2018
AMBIENT-ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • Lời giải:

    Để cho đẹp, đổi \((xy,yz,xz)\mapsto (a,b,c)\) suy ra \(a+b+c=1\)

    BĐT cần chứng minh tương đương với :

    \(A=\frac{1}{a+b+c+a+\frac{bc}{a}}+\frac{1}{a+b+c+b+\frac{ac}{b}}+\frac{1}{a+b+c+c+\frac{ab}{c}}\leq \frac{9}{5}\)

    \(\Leftrightarrow A=\frac{a}{2a^2+ab+bc+ac}+\frac{b}{2b^2+ab+bc+ac}+\frac{c}{2c^2+ab+bc+ac}\leq \frac{9}{5}\)

    \(\Leftrightarrow A=\sum \frac{a(ab+bc+ca)}{2a^2+ab+bc+ac}\leq \frac{9(ab+bc+ac)}{5}\)

    Để ý rằng \(A=\sum \left ( a-\frac{2a^3}{2a^2+ab+bc+ac} \right )=1-\sum \frac{2a^3}{2a^2+ab+bc+ac}\)

    Cauchy-Schwarz:

    \(\sum \frac{2a^3}{2a^2+ab+bc+ac}=\sum \frac{2a^4}{2a^3+a^2b+abc+a^2c}\geq \frac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^3+b^3+c^3)+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(a+c)+3abc}\)

    Giờ đặt \(ab+bc+ac=q,abc=r\)

    Phân tích:

    \(2(a^3+b^3+c^3)+\sum ab(a+b)+3abc=2(a^3+b^3+c^3-3abc)+(a+b+c)(ab+bc+ac)+6abc\)

    \(=2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)+ab+bc+ac+6abc\)

    \(=2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ac)+6abc=2-5q+6r\)

    Do đó \(A\leq 1-\frac{2(1-2q)^2}{2-5q+6r}\). Giờ chỉ cần chỉ ra \(1-\frac{2(1-2q)^2}{2-5q+6r}\leq \frac{9q}{5}\Leftrightarrow q(3-5q)+6r(9q-5)\geq 0\)

    Theo AM-GM dễ thấy

    \(q^2=(ab+bc+ac)^2\geq 3abc(a+b+c)=3r\)

    Và \(1=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow q\leq \frac{1}{3}\)

    \(\Rightarrow 9q-5<0\rightarrow 6r(9q-5)\geq 2q^2(9q-5)\) (đổi dấu)

    \(\Rightarrow q(3-5q)+6r(9q-5)\geq q(3-5q)+2q^2(9q-5)=q(2q-1)(3q-1)\geq 0\)

    BĐT trên hiển nhiên đúng vì \(q\leq \frac{1}{3}<\frac{1}{2}\Rightarrow (2q-1)(3q-1)\geq 0\)

    Chứng minh hoàn tất.

    Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

    P/s: Làm BĐT bần cùng lắm mới xài pqr, không ngờ phải xài thật :)

      bởi Đỗ thị hoàng Thảo 17/04/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 8