Xác định các hệ số của \(a\) và \(b\) để nghiệm của đa thức \(F\left( x \right) = {x^2} + 2x - 15\) cũng là nghiệm của đa thức \(G\left( x \right) = 2{x^2} + ax + b\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} + 2x - 15\\ = {x^2} + 5x - 3x - 15\\ = \left( {{x^2} + 5x} \right) - \left( {3x + 15} \right)\\ = x\left( {x + 5} \right) - 3\left( {x + 5} \right)\\ = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = 0\\ \Rightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\x + 5 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - 5\end{array} \right.\end{array}\)

Do đó đa thức \(F\left( x \right)\) có các nghiệm là \(3\) và \( - 5\).

Để các nghiệm \(3\) và \( - 5\) cũng là nghiệm của \(G\left( x \right)\) thì:

\(\begin{array}{l}{2.3^2} + a.3 + b = 0\\ \Leftrightarrow 18 + 3a + b = 0\\ \Leftrightarrow b =  - 18 - 3a\end{array}\)

Và

\(\begin{array}{l}2.{\left( { - 5} \right)^2} + a.\left( { - 5} \right) + b = 0\\ \Leftrightarrow 50 - 5a + b = 0\\ \Rightarrow 50 - 5a + \left( { - 18 - 3a} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 50 - 5a - 18 - 3a = 0\\ \Leftrightarrow 32 - 8a = 0\\ \Leftrightarrow 8a = 32\\ \Leftrightarrow a = 4\\ \Rightarrow b =  - 18 - 3.4 =  - 30\end{array}\)

Vậy \(a = 4,b =  - 30\).