Với ba số như sau a, b, c dương. Chứng tỏ rằng \(M = \dfrac{a}{{a + b}} + \dfrac{b}{{b + c}} + \dfrac{c}{{c + a}}\) không là số nguyên.\(\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{{a + b}} > \dfrac{a}{{a + b + c}}\\\dfrac{b}{{b + c}} > \dfrac{b}{{a + b + c}}\\\dfrac{c}{{c + a}} > \dfrac{c}{{a + b + c}}\end{array}\)

Cộng vế với vế ta được:

\(\dfrac{a}{{a + b}} + \dfrac{b}{{b + c}} + \dfrac{c}{{c + a}} > \dfrac{a}{{a + b + c}} + \dfrac{b}{{a + b + c}} + \dfrac{c}{{a + b + c}}\)\(\,\left( { = \dfrac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 1} \right)\)         (1)

Lại có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{{a + b}} < \dfrac{{a + c}}{{a + b + c}}\\\dfrac{b}{{b + c}} < \dfrac{{b + a}}{{a + b + c}}\\\dfrac{c}{{c + a}} < \dfrac{{c + b}}{{a + b + c}}\end{array}\)

Cộng vế với vế ta được:

\(\dfrac{a}{{a + b}} + \dfrac{b}{{b + c}} + \dfrac{c}{{c + a}} < \dfrac{{a + c}}{{a + b + c}} + \dfrac{{b + a}}{{a + b + c}} + \dfrac{{c + b}}{{a + b + c}}\)\(\,\left( { = \dfrac{{2(a + b + c)}}{{a + b + c}} = 2} \right)\)                (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(1 < \dfrac{a}{{a + b}} + \dfrac{b}{{b + c}} + \dfrac{c}{{c + a}} < 2\)

\( \Rightarrow \dfrac{a}{{a + b}} + \dfrac{b}{{b + c}} + \dfrac{c}{{c + a}}\) không phải là số nguyên (đpcm).