Tính OA, OB, OC biết tam giác ABC vuông tại A có AB=3cm ,AC=4cm

a, Dễ dàng chứng minh được:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta AOE=\Delta AOF\left(ch-gn\right)\\\Delta BOD=\Delta BOE\left(ch-gn\right)\\\Delta COD=\Delta COF\left(ch-gn\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow AE=AF;BE=BD;CD=CF\left(cctu\right)\)(1);\(OE=OF=OD\left(cctu\right)\).

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

\(BC^2=AB^2+AC^2=3^2+4^2=25=5^2\)

\(\Rightarrow BC=5\left(BC>0\right)\)

Ta có:

\(AB+AC-BC=AE+BE+AF+CF-BC-CD\)(2)

Từ (1) và (2) ta có:

\(AB+AC-BC=AE+AF=2AE\)

\(\rightarrow\)đpcm

b, Ta có:

\(S_{ABC}=S_{AOB}+S_{AOC}+S_{BOC}\)

\(\dfrac{AB.AC}{2}=\dfrac{OE.AB+OF.AC+OD.BC}{2}\)

mà \(OE=OF=OD\left(cmt\right)\)

nên \(AB.AC=OE.\left(AB+AC+BC\right)\)

\(\Rightarrow OE.\left(3+4+5\right)=3.4\)

\(\Rightarrow OE.12=12\Rightarrow OE=OF=OD=1\left(cm\right)\)

Vậy..........

c, Ta có:

\(\widehat{EAO}=\widehat{FAO}=45^o\)

\(\Rightarrow\Delta AEO\) và \(\Delta AFO\) là tam giác vuông cân.

\(\Rightarrow AO=\sqrt{2}OE=\sqrt{2}.1=\sqrt{2}\left(cm\right)\)

và \(AE=AF=1\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow\)\(BE=2\left(cm\right);CF=3\left(cm\right)\)

Xét tam giác BEO và tam giác CFO ta có:

\(BO^2=OE^2+BE^2;CO^2=OF^2+CF^2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BO^2=1^2+2^2=1+4=5\\CO^2=1^2+3^2=1+9=10\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BO=\sqrt{5}\left(cm\right)\\CO=\sqrt{10}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy...............

Chúc bạn học tốt!!!