Tính góc BAH, HAC biết tam giác ABC có AB < AC, AH là tia phân giác của BAC

a) Xét \(ABC\) có :

\(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o\) (tổng 3 góc của 1 tam giác)

=> \(\widehat{BAC}+50^o+60^o=180^o\)

=> \(\widehat{BAC}=180^o-\left(50^o+60^o\right)=70^o\)

Mà ta có : \(AH\) là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (gt)

=> \(\widehat{BAH}=\widehat{HAC}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=\dfrac{70^{^O}}{2}=35^{^O}\)

b) Xét \(\Delta ABH;\Delta AKH\) có :

\(AB=AK\left(gt\right)\)

\(\widehat{BAH}=\widehat{KAH}\left(cmt\right)\)

\(AH:chung\)

=> \(\Delta ABH=\Delta AKH\left(c.g.c\right)\)

=> \(BH=HK\) (2 cạnh tương ứng)

c) Xét \(\Delta ABK\) có :

\(AB=AK\left(gt\right)\)

=> \(\Delta ABK\) Cân tại A

Mà có : AH là tia phân giác của góc BAK

Suy ra : AH đồng thời là đường trung trực của \(\Delta ABK\)

=> \(AH\perp BC\) (tính chất đường trung trực)

d) Xét \(\Delta AQH;\Delta ANH\) có:

\(\widehat{AQH}=\widehat{ANH}\left(=90^{^O}\right)\)

AH: chung

\(\widehat{QAH}=\widehat{NAH}\) (AH là tia phân giác của góc BAC)

=> \(\Delta AQH=\Delta ANH\) (cạnh huỳen -góc nhọn)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}QH=HN\\\widehat{QHA}=\widehat{NHA}\end{matrix}\right.\) (cặp cạnh và góc tương ứng)

Xét \(\Delta HQN\) có :

\(QH=HN\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta HQN\) cân tại H

Mà có : \(\widehat{QHA}=\widehat{NHA}\left(cmt\right)\)

=> AH là tia phân giác của góc QHK

=> AH đồng thời là đường trung trực trong \(\Delta HQN\) (tính chất tam giác cân)

Do đó : \(AH\perp QN\left(đpcm\right)\)