Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=|7x-5y|+|2z-3x|+|xy+yz+zx-500|+2016

Với mọi giá trị của \(x;y;z\in R\) ta có:

\(\left|7x-5y\right|\ge0;\left|2z-3x\right|\ge0;\left|xy+yz+zx-500\right|\ge0\)

\(\Rightarrow\left|7x-5y\right|+\left|2z-3x\right|+\left|xy+yz+zx-500\right|\ge0\)

\(\Rightarrow\left|7x-5y\right|+\left|2z-3x\right|+\left|xy+yz+zx-500\right|+2016\ge2016\)

Hay \(A\ge2016\) với mọi giá trị của \(x;y;z\in R\)

Để A=2016 thì \(\left|7x-5y\right|+\left|2z-3x\right|+\left|xy+yz+zx-500\right|+2016=2016\)

\(\Leftrightarrow\left|7x-5y\right|+\left|2z-3x\right|+\left|xy+yz+zx-500\right|=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|7x-5y\right|=0\\\left|2z-3x\right|=0\\\left|xy+yz+zx-500\right|=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x-5y=0\\2z-3x=0\\xy+yz+zx-500=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x=5y\\2z=3x\\xy+yz+zx=500\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}21x=15y=14z\\xy+yz+zx=500\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{21x}{630}=\dfrac{15y}{630}=\dfrac{14z}{630}\\xy+yz+zx=500\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{30}=\dfrac{y}{42}=\dfrac{z}{45}\\xy+yz+zx=500\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\dfrac{x}{30}=\dfrac{y}{42}=\dfrac{z}{45}=k\left(k>0\right)\Rightarrow x=30k;y=42k;z=45k\)(1)

Thay(1) vào (2) ta có:

\(30k.42k+42k.45k+45k.30k=500\)

\(\Rightarrow1260k^2+1890k^2+1350k^2=500\)

\(\Rightarrow\left(1260+1890+1350\right)k^2=500\)

\(\Rightarrow4500k^2=500\Rightarrow k^2=\dfrac{1}{9}\Rightarrow k=\pm\dfrac{1}{3}\)

Vì k>0 nên \(k=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{3}.30=10;y=\dfrac{1}{3}.42=14;z=\dfrac{1}{3}.45=15\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 2016 đạt được khi và chỉ khi x=10; y=14; z=15

Chúc bạn học tốt nha!!