Tính độ dài các đoạn BD và AH biết tam giác ABC vuông tại A có góc B=60 độ và AB=5cm

*, Ta có: góc A+ góc B+ góc C=180 độ (áp dụng tính chất tổng 3 góc của tam giác)

=> góc C= 30độ

\(\Rightarrow AB=\dfrac{1}{2}BC\) (do trong tam giác vuông cạnh đối diện góc 30 độ bằng nửa cạnh huyền)

\(\Rightarrow BC=2.AB=2.5=10\left(cm\right)\)

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)(áp dụng định lý Pytago)

\(\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2=10^2-5^2=100-25=75=\left(\sqrt{75}\right)^2\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{75}\)(do AC>0)

Xét tam giác AHC vuông tại H ta có:

\(AH=\dfrac{1}{2}AC\) (do trong tam giác vuông cạnh đối diện góc 30 độ bằng nửa cạnh huyền)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{\sqrt{75}}{2}\)

*, Dựng đường cao DE của tam giác BCD \(\left(E\in BC\right)\).

Dễ dàng chứng minh được tam giác ABD= tam giác EBD(cạnh huyền-góc nhọn)

=> AD=ED(cặp cạnh tương ứng)

Xét tam giác CDE vuông tại E ta có:

\(ED=\dfrac{1}{2}DC\) (do trong tam giác vuông cạnh đối diện góc 30 độ bằng nửa cạnh huyền)

mà AD=ED nên \(AD=\dfrac{1}{2}DC\)

Mặc khác ta lại có: AD+DC=AC nên \(\dfrac{3}{2}DC=AC\)

\(\Rightarrow\dfrac{3}{2}DC=\sqrt{75}\Rightarrow DC=\dfrac{2}{3}.\sqrt{75}\)

Vì góc DBC= góc DCB(=30 độ) nên tam giác DBC cân tại D => DB=DC( theo tính chất của tam giác cân)

\(\Rightarrow DB=\dfrac{2}{3}.\sqrt{75}\left(cm\right)\)

Chúc bạn học tốt nha!!!