Tính BP biết B là giao điểm của OA và PQ và OB=4cm, OP=5cm

a) Xét \(\Delta OMA,\Delta ONA\) có:

\(\widehat{MOA}=\widehat{NOA}\) (OA là tia phân giác của \(\widehat{O}\))

\(OA:Chung\)

\(\widehat{OMA}=\widehat{ONA}\left(=90^{^O}\right)\)

=> \(\Delta OMA=\Delta ONA\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> OM = ON (2 cạnh tương ứng)

Do đó : \(\Delta OMN\) cân tại O

=> đpcm

b) Xét \(\Delta MAP,\Delta NAQ\) có :

\(\widehat{AMP}=\widehat{ANQ}\left(=90^o\right)\)

\(MA=AN\) (\(\Delta OMA=\Delta ONA\)- câu a)

\(\widehat{MAP}=\widehat{NAQ}\) (đối đỉnh)

=> \(\Delta MAP=\Delta NAQ\left(g.c.g\right)\)

=> \(AP=AQ\) (2 cạnh tương ứng)

c) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}OM=ON\left(\Delta OAM=\Delta OAN\right)\\MP=NQ\left(\Delta MAP=\Delta NAQ\right)\end{matrix}\right.\)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}M\in Ox\\N\in Oy\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OP=OM+MP\\OQ=ON+NQ\end{matrix}\right.\)

Suy ra : \(OP=OQ\left(OM+MP=ON+NQ\right)\)

Xét \(\Delta OBP,\Delta OBQ\) có :

\(OP=OQ\left(cmt\right)\)

\(\widehat{POB}=\widehat{QOB}\) (cmt)

\(OB:chung\)

=> \(\Delta OBP=\Delta OBQ\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{OBP}=\widehat{OBQ}\) (2 góc tương ứng)

Mà : \(\widehat{OBP}+\widehat{OBQ}=180^o\left(kềbù\right)\)

=> \(\widehat{OBP}=\widehat{OBQ}=90^o\)

Xét \(\Delta OBP\) vuông tại B (\(\widehat{OBP}=90^o\)) có:

\(BP^2=OP^2-OB^2\) (Định lí PITAGO)

=> \(BP^2=5^2-4^2=9\)

=> \(BP=\sqrt{9}=3\left(cm\right)\)