Tìm x,y nguyên thỏa mãn x^2+y^2=1999

Bài 2:

Ta có: \(9x^2+2=y^2+y\)

\(\Leftrightarrow 9x^2=y^2+y-2\)

\(\Leftrightarrow (3x)^2=(y-1)(y+2)\)

Ta có: \((y-1)(y+2)\geq 0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} y\geq 1\\ y\leq -2\end{matrix}\right.\)

TH1 \(y\geq 1\), đảm bảo \(y-1,y+2\in\mathbb{N}\)

Gọi \(d=\text{ƯCLN}(y-1,y+2)\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y-1\vdots d\\ y+2\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow (y+2)-(y-1)\vdots d\)

\(\Leftrightarrow 3\vdots d\) \(\Leftrightarrow d\in\left\{1;3\right\}\)

Nếu \(d=1\), tức là không số nào trong \(y-1,y+2\) chia hết cho $3$. Mà \((3x)^2\vdots 3\) nên vô lý (loại )

Nếu \(d=3\). Đặt \(y-1=3k\Rightarrow y+2=3k+3\)

PT trở thành: \((3x)^2=3k(3k+1)=9k(k+1)\)

\(\Leftrightarrow x^2=k(k+1)\)

Vì $k,k+1$ nguyên tố cùng nhau mà tích của chúng lại là một số chính phương nên bản thân chúng cũng là số chính phương.

Đặt \(k=m^2; k+1=n^2\)( \(m,n\in\mathbb{N}\) )

\(\Rightarrow n^2-m^2=1\Leftrightarrow (n-m)(n+m)=1\). Đây là dạng pt tích cơ bản ta thu được \(n=1; m=0\Rightarrow k=0\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=1\\ x=0\end{matrix}\right.\)

TH2: \(y\leq -2\) thì \(y-1, y+2\leq 0\).

Đặt \(y+2=-(a-1)\Rightarrow y-1=-(a+2)\)

Khi đó: \((3x)^2=(a-1)(a+2)\) với \(a-1,a+2\geq 0\) (là các số tự nhiên)

TH này lặp lại TH1 và ta thu được \(a=1\Leftrightarrow y=-2; x=0\)

Vậy \((x,y)=(0; 1); (0; -2)\)