Tìm số tự nhiên n để 2n^2-n+2 chia hết cho 2n+1

Câu 1:

Ta có:

\(\left(2n^2-n+2\right)\div\left(2n+1\right)=n-1+\dfrac{3}{2n+1}\)

Để \(\left(2n^2-n+2\right)⋮\left(2n+1\right)\)

Thì \(3⋮2n+1\) Hay \(2n+1\inƯ\left(3\right)\)

Mà \(Ư\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

Vậy \(n=\left\{-2;-1;0;1\right\}\)

Câu 2:

Thay \(x=2013\) vào đẳng thức ta có:

\(\left(2013-2013\right).f\left(2013\right)=\left(2013-2014\right).f\left(2013-2012\right)\)

\(\Rightarrow f\left(1\right)=0\)

\(\Rightarrow x=1\) là một nghiệm của đa thức \(f\left(x\right)\)

Thay \(x=2014\) vào đẳng thức ta có:

\(\left(2014-2013\right).f\left(2014\right)=\left(2014-2014\right).f\left(2014-2012\right)\)

\(\Rightarrow f\left(2014\right)=0\)

\(\Rightarrow x=2014\) là một nghiệm của đa thức \(f\left(x\right)\)

Vậy đa thức \(f\left(x\right)\) có ít nhất 2 nghiệm \(x=1;x=2014\)

Câu 3:

Ta có:

\(5\equiv1\) (\(mod\) \(4\)) \(\Rightarrow5^x\equiv1\) (\(mod\) \(4\))

\(\Rightarrow5^x+1\equiv2\) (\(mod\) \(4\)) \(\Rightarrow y=1\)

Thay vào đẳng thức trên ta có:

\(5^x+1=2\Rightarrow5^x=1\Rightarrow x=0\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\end{matrix}\right.\)