Tìm số abc biết ab là số nguyên tố và ab/bc=b/c

Vào LaTeX dịch mãi mới ra cái đề. Cái này bị sao vậy phynit?

Dịch đề:

Cho \(a,b,c\) là các chữ số đôi một khác nhau và khác \(0\).Biết \(\overline{ab}\) là số nguyên tố và \(\dfrac{\overline{ab}}{\overline{bc}}=\dfrac{b}{c}\). Tìm \(\overline{abc}\)

Giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{\overline{ab}}{\overline{bc}}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{10a+b}{10b+c}=\dfrac{10a+b-b}{10b+c-c}=\dfrac{10a}{10b}=\dfrac{a}{b}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}\Rightarrow ac=b^2\)

Do \(\overline{ab}\) là số nguyên tố nên \(b\in\left\{1;3;7;9\right\}\)

Mà \(ac=b^2\) nên ta xét có trường hợp:

\(*)\) Với \(b=1\) thì \(1^2=ac=1\Leftrightarrow a=c=1\) (loại vì \(a,b,c\) khác nhau)

\(*)\) Với \(b=3\) thì \(3^2=ac=9\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\c=9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\overline{ab}=13\) (thỏa mãn)

\(*)\) Với \(b=7\) thì \(7^2=ac=49\Leftrightarrow a=c=7\) (loại vì \(a,b,c\) khác nhau)

\(*)\) Với \(b=9\) thì \(9^2=ac=81\Leftrightarrow a=c=9\) (loại vì \(a,b,c\) khác nhau)

Vậy \(\overline{abc}=139\)