Tìm n thuộc N để A=n^4+n^2+1 là số nguyên tố

Bài 4:

a)

Ta có: \(A=n^4+n^2+1=n^4+2n^2+1-n^2\)

\(=(n^2+1)^2-n^2=(n^2+n+1)(n^2-n+1)\)

Để A là số nguyên tố thì buộc 1 trong hai thừa số \(n^2+n+1, n^2-n+1\) bằng 1, số còn lại là số nguyên tố.

Với \(n=0\Rightarrow A=1\not\in\mathbb{P}\). Với \(n\geq 1\) thì \(n^2+n+1> n^2-n+1\)

Do đó \(n^2-n+1=1\Leftrightarrow n(n-1)=0\Rightarrow n=1\)

Thử lại thấy A=3 là sô nguyên tố (thỏa mãn)

b)

Ta có:

\(B=n^4+4^n=(n^2+2^n)^2-2^{n+1}n^2\)

TH1: n chẵn thì B chẵn. n=0 thì B=1 không phải số nguyên tố. \(n\geq 2\Rightarrow B> 2\). Một số chẵn và lớn hơn 2 không thể là số nguyên tố

TH2: n lẻ thì n+1 chẵn.

Đặt \(n+1=2k\Rightarrow B=(n^2+2^n-2^{k}n)(n^2+2^n+2^kn)\)

Để B là sô nguyên tố thì buộc một trong hai thừa số của nó phải bằng 1 và số còn lại là số nguyên tố.

Thấy rằng \(n^2+2^n-2^kn< n^2+2^n+2^{k}n\) nên

\(n^2+2^n-2^kn=1\)

\(\Leftrightarrow (2k-1)^2+2^{2k-1}-2^k(2k-1)-1=0\)

\(\Leftrightarrow 4k(k-1)+2^{2k-1}-2^k(2k-1)=0\)

\(\Rightarrow 2^k[2^{k-1}-(2k-1)]=4k(1-k)\leq 0\) (do $k\geq 1$)

\(\Rightarrow 2^{k-1}\leq 2k-1\)(*)

+ k=1 (thỏa mãn *) thì n=1. Thu được B=5 là số nguyên tố (tm)

+ k=2 (thỏa mãn *) thì n=3. Thu được B=145 không phải số nguyên tố

+ k=3 (thỏa mãn *) thì n=5. Thu được B=1649 không phải số nguyên tố.

+Xét \(k\geq 4\). Ta sẽ cm với những giá trị lớn hơn 4 thì \(2^{k-1}> 2k-1\), tức là (*) không thỏa mãn.

Thật vậy. Quy nạp Giả sử khẳng định trên đúng đến \(k=t\) tức là \(2^{t-1}> 2t-1\)

Ta sẽ cm nó cũng đúng với k=t+1

Có: \(2^{t+1-1}=2^t>(2t-1)2=4t-2=2t+2t-2>2(t+1)-1\) do t> 4

Vậy khẳng định đúng với mọi \(k\geq 4\). Vậy với $k\geq 4$ thì (*) không thỏa mãn nên loại

Vậy n=1