Tìm GTNN của x^2 + y^2 + z^2 biết x + y + z + xy + yz + xz = 6

Ace đã lm rồi . nhưng để mk lm lại ; dể hiểu hơn chút nha

bài làm : ta áp dụng bất đẳng thức cô si cho các cặp lần lược là

* \(x^2vày^2\) ta có : \(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)

* \(y^2vàz^2\) ta có : \(y^2+z^2\ge2\sqrt{y^2z^2}=2yz\)

* \(z^2vàx^2\) ta có : \(z^2+x^2\ge2\sqrt{z^2x^2}=2zx\)

* \(x^2và1\) ta có : \(x^2+1\ge2\sqrt{x^2.1}=2x\)

* \(y^2và1\) ta có : \(y^2+1\ge2\sqrt{y^2.1}=2y\)

* \(z^2và1\) ta có : \(z^2+1\ge2\sqrt{z^2.1}=2z\)

ta cộng tất cả theo từng quế ta có :

\(3x^2+3y^2+3z^2+3\ge2xy+2yz+2zx+2x+2y+2z\)

\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2+1\right)\ge2\left(xy+yz+zx+x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2+1\right)\ge2.6=12\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+1\ge4\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge4-1=3\)

\(\Rightarrow Min\) của biểu thức trên là 3

dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=y\\y=z\\z=x\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\\z=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z=1\)

vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(x^2+y^2+z^2\) là 3 khi \(x=y=z=1\)