Tam giác ABC là tam giác gì biết tam giác ADE cân tại A?

Giải:
a) Xét \(\Delta ADB,\Delta AEC\) có:
AD = AE ( do t/g ADE cân tại A )

\(\widehat{D}=\widehat{E}\) ( do t/g ADE cân tại A )

DB = EC ( gt )

\(\Rightarrow\Delta ADB=\Delta AEC\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow AB=AC\) ( cạnh t/ứng )

\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A

b) Xét \(\Delta MDB,\Delta NCE\) có:
\(\widehat{M_2}=\widehat{N_2}=90^o\)

BD = CE ( gt )

\(\widehat{D}=\widehat{E}\) ( do t/g ADE cân tại A )

\(\Rightarrow\Delta MBD=\Delta NCE\) ( c.huyền - g.nhọn )

\(\Rightarrow BM=CN\) ( cạnh t/ứng ) ( đpcm )

c) Vì \(\Delta MBD=\Delta NCE\)

\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\) ( góc t/ứng )

Mà \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2};\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\) ( 2 cặp góc đối đỉnh )

\(\Rightarrow\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\)

\(\Rightarrow\Delta IBC\) cân tại I

d) Ta có: \(\widehat{B_3}=\widehat{C_3}\) ( do t/g ABC cân tại A )

\(\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\) ( theo c )

\(\Rightarrow\widehat{B_3}+\widehat{B_2}=\widehat{C_3}+\widehat{C_2}\)

\(\Rightarrow\widehat{ABI}=\widehat{ACI}\)

Xét \(\Delta ABI,\Delta ACI\) có:
AB = AC ( do t/g ABC cân tại A )

\(\widehat{ABI}=\widehat{ACI}\left(cmt\right)\)

IB = IC ( do t/g IBC cân tại I )

\(\Rightarrow\Delta ABI=\Delta ACI\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{A_3}=\widehat{A_4}\) ( cạnh t/ứng )

\(\Rightarrow AI\) là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) ( đpcm )

Vậy...