So sánh góc BAH và góc CAH biết tam giác ABC nhọn có AB > AC và đường cao AH

Hình:

Giải:

a) Ta có:

\(AB>AC\left(gt\right)\)

\(\Leftrightarrow HB>HC\) (Quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên)

b) Ta có: \(AB>AC\left(gt\right)\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}< \widehat{ACB}\) (Quan hệ cạnh và góc đối diện)

Lại có:

\(\widehat{BAH}+\widehat{ABC}+\widehat{AHB}=180^0\) (Tổng ba góc tam giác)

\(\Leftrightarrow\widehat{BAH}+\widehat{ABC}+90^0=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{BAH}=180^0-\widehat{ABC}-90^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{BAH}=900^0-\widehat{ABC}\)

Tương tự ta được:

\(\Leftrightarrow\widehat{CAH}=900^0-\widehat{ACB}\)

Ta có:

\(\widehat{ABC}< \widehat{ACB}\) (Chứng minh trên)

\(\Leftrightarrow-\widehat{ABC}>-\widehat{ACB}\)

\(\Leftrightarrow90^0-\widehat{ABC}>90^0-\widehat{ACB}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{BAH}>\widehat{CAH}\)

c) Gọi I và K lần lượt là giao điểm của HN với AC và HM với AB

Xét tam giác AIN và tam giác AIH, có:

\(\widehat{AIN}=\widehat{AIH}=90^0\) (HN là đường trung trực của AC)

AI chung

\(IN=IH\) (HN là đường trung trực của AC)

\(\Rightarrow\Delta AIN=\Delta AIH\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AN=AH\) (Hai cạnh tương ứng) (1)

Chứng minh tương tự với tam giác AKM và tam giác AKH, ta được:

\(\Delta AKM=\Delta AKH\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AM=AH\) (Hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AM=AN\) (Bắc cầu)

Suy ra tam giác MAN cân tại A

Vậy ...