So sánh EH và HC biết tam giác ABC vuông tại A có AH vuông góc BC

a) \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBD\) có:
BA = BE (gt)
\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\) (BD là tia phân giác góc B)
BD là cạnh chung
\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta EBD\) (c.g.c)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{BAD} = \widehat{BED}\) (hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{BAD} \) \(=90^0\)
\(\Rightarrow\)\(\widehat{BED} \) \(=90^0\)
\(\Rightarrow\) DE \(\perp\) BE

b) \(\Delta ABI\) và \(\Delta EBI\) có:
BA = BE (gt)
\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\) (gt)
BI là cạnh chung
\(\Rightarrow\Delta ABI=\Delta EBI\) (c.g.c)
\(\Rightarrow\) IA = IE (hai cạnh tương ứng) (1)
Ta có: \(\widehat{I_1}+\widehat{I_2}=180^0\) (hai góc kề bù)
mà \(\widehat{I_1}=\widehat{I_2}\) (\(\Delta ABI=\Delta EBI\))
\(\Rightarrow\) \(\widehat{I_1}=\widehat{I_2}=90^0\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) DE vuông góc với BE.

c) \(\Delta AHE\) vuông tại H có \(\widehat{AEH}\) nhọn
\(\Rightarrow\) \(\widehat{AEC}\) là góc tù
\(\Rightarrow\) \(\widehat{AHE} < \widehat{AEC}\)
\(\Rightarrow\) AE < AC (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện)
mà EH là hình chiếu của AE trên BC.
HC là hình chiếu của AC trên BC.
\(\Rightarrow\) EH < HC (quan hệ đường xiên và hình chiếu).