So sánh BM và CM biết tam giác ABC có AM là phân giác của góc A và AD=AB

Ta có hình vẽ:a) Xét 2 \(\Delta ABM\) và \(\Delta ADM\) có:

\(\widehat{A1}\) = \(\widehat{A2}\) (gt)

AB = AD (gt)

AM là cạnh chung

=> \(\Delta ABM\) = \(\Delta ADM\) ( c-g-c)

=> BM = DM (2 cạnh tương ứng)

b) Xét 2 \(\Delta DAK\) và \(\Delta BAC\) có:

\(\widehat{A}\) là góc chung

AB = AD (gt)

\(\widehat{B2} = \widehat{D1}\) (vì \(\Delta ABM=\Delta ADM\) )

=> \(\Delta DAK=\Delta BAC\) ( g-c-g)

=> AK = AC (2 cạnh tương ứng)

c) Xét \(\Delta AKC\) có:

AK = AC (cmt)

=>\(\Delta AKC\) cân tại A

d) Ta có: \(\widehat{K} = \widehat{K1} + \widehat{K2} \)

\(\widehat{C} = \widehat{C1} + \widehat{C2}\)

mà \(\widehat{K} = \widehat{C}\) (vì\(\Delta AKC\) cân tại A)

\(\widehat{K2} = \widehat{C2}\) (vì\(\Delta DAK=\Delta BAC\))

=> \(\widehat{K1} = \widehat{C1}\)

=> \(\Delta KMC\) cân tại M

=> MK = MC

Ta lại có: \(\widehat{B1} = \widehat{A} + \widehat{C2}\) (góc ngoài của \(\Delta ABC\)

hay \(\widehat{B1} = \widehat{A} + \widehat{K2}\) (vì\(\Delta AKC\) cân tại A)

=> \(\widehat{B1} > \widehat{K2}\)

đối diện với \(\widehat{B1}\) là cạnh MK

đối diện với \(\widehat{K2}\) là cạnh MB

=> MK > MB (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)

mặt \(\ne\) MK = MC (cmt)

=> MC > MB (đpcm)