Số cặp x,y nguyên thỏa mãn (x -2015)^2 + y^2 = 25

Ta có:

\(8\left(x-2015\right)^2+y^2=25\)

\(\Rightarrow8\left(x-2015\right)^2=25-y^2\)

Ta thấy:

\(y^2\ge0\forall y\)

\(\Rightarrow25-y^2\le25\forall y\)

\(\Rightarrow8\left(x-2015\right)^2\le25\)

\(\Rightarrow\left(x-2015\right)^2\le\dfrac{25}{8}\) (1)

mà x,y nguyên

\(\left(x-2015\right)^2\in Z;y^2\in Z\) và \(\left(x-2015\right)^2;y^2\) là các số chính phương (2)

Lại có:

\(\left(x-2015\right)^2\ge0\forall x\) (3)

Từ (1), (2) và (3)

\(\left(x-2015\right)^2\in\left\{0;1;2;3\right\}\)

Mặt khác:

\(\left(x-2015\right)^2\) là số chính phương

\(\Rightarrow\left(x-2015\right)^2\in\left\{0;1\right\}\)

\(\Rightarrow\left(x-2015\right)\in\left\{-1;0;1\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{2014;2015;2016\right\}\)

TH1: (x-2015)=-1 hoặc (x-2015)=1

=>(x-2015)²=1

=>8(x-2015)²=8

=> 25-y²=8

=> y²=17

=> y=\(\sqrt{17}\) (loại vì y là số nguyên)

TH2: (x-2015)=0

=> (x-2015)²=0

=> 8(x-2015)²=0

=> 25-y²=0

=> y²=25

=> \(y\in\left\{-5;5\right\}\)

=> x=2015 (thỏa mãn)

Vậy với x=2015; \(y\in\left\{-5;5\right\}\) thì \(8\left(x-2015\right)^2+y^2=25\).