Hãy so sánh \(\displaystyle {a \over b}\) \((b > 0)\) và \(\displaystyle {{a + n} \over {b + n}}\) \((n ∈ \mathbb N^*)\)

* Trường hợp 1: Nếu \(a < b\) thì \(an < bn\) (vì \(n ∈ \mathbb {N}^*\) nên \(n > 0).\)

\(⇒ ab + an < ab + bn\)

hay \(a(b + n) < b.(a + n) \,(1)\)

Mà \(b > 0\) và \(b + n > 0\) nên chia hai vế của (1) cho \(b.(b+n)>0\) ta được: 

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{a\left( {b + n} \right)}}{{b\left( {b + n} \right)}} < \dfrac{{b\left( {a + n} \right)}}{{b\left( {b + n} \right)}}\\
\Rightarrow \dfrac{a}{b} < \dfrac{{a + n}}{{b + n}}
\end{array}\)

* Trường hợp 2: Nếu \(a > b\) thì \(an > bn\) (vì \(n ∈ \mathbb {N}^*\) nên \(n > 0).\)

\(⇒ ab + an > ab + bn\)

hay \(a(b + n) > b.(a + n) \,(2)\)

Mà \(b > 0\) và \(b + n > 0\) nên chia hai vế của (2) cho \(b.(b+n)>0\) ta được: 

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{a\left( {b + n} \right)}}{{b\left( {b + n} \right)}} > \dfrac{{b\left( {a + n} \right)}}{{b\left( {b + n} \right)}}\\
\Rightarrow \dfrac{a}{b} > \dfrac{{a + n}}{{b + n}}
\end{array}\)

* Trường hợp 3: Nếu \(a = b\) thì \(a + n = b + n\)

Suy ra: 

\(\begin{array}{l}
\dfrac{a}{b} = 1;\dfrac{{a + n}}{{b + n}} = 1\\
\Rightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{{a + n}}{{b + n}}\left( { = 1} \right)
\end{array}\)