Chứng minh tam giác MNE đều biết tam giác ABC đều, 3 đường trung tuyến AM, BN, CE cắt nhau tại G

a) Ta có: AE = BE (gt)

AN = CN (gt)

BM = CM (gt)

mà AB = AC = BC (tam giác ABC đều)

\(\Rightarrow AE=BE=AN=CN=BM=CM\)(1)

Xét ba tam giác BAN, CAE và ACM ta có:

AB = AC (gt) (2)

góc BAC = góc ACM (gt) (3)

AE = AN = MC (gt) (4)

Từ (2),(3),(4) \(\Rightarrow\) ba tam giác BAN, CAE và ACM bằng nhau (5)

Từ (5) \(\Rightarrow\) AM = BN = CE (các cạnh tương ứng)

b) Xét các tam giác ABM, ACM, ABN, CBN, ACE, BCE ta có:

AB = AC = BC (gt) (6)

góc BAC = góc ABC = góc ACB (gt) (7)

AE = BE = AN = CN = BM = CM (1)

Từ (6),(7),(1) \(\Rightarrow\) các tam giác ABM, ACM, BAN, BCN, ACE, BCE bằng nhau (8)

Từ (8) \(\Rightarrow\) góc BAM = góc CAM = góc ABN = góc CBN = góc ACE = góc BCE

\(\Rightarrow\) góc CAM = góc ABN = góc BCE (9)

Từ (8) \(\Rightarrow\) góc AMB = góc AMC = góc BNA = góc BNC = góc AEC = góc BEC

\(\Rightarrow\) góc BNA = góc BEC = góc AMC (10)

Xét ba tam giác ANG, BEG, CMG ta có:

góc CAM = góc ABN = góc BCE (9)

AN = BE = MC (gt) (11)

góc BNA = góc BEC = góc AMC (10)

Từ (9),(11),(10) \(\Rightarrow\) ba tam giác ANG, BEG, CMG bằng nhau (12)

Từ (12) \(\Rightarrow\) GA = GB = GC (các cạnh tương ứng)

c) Xét ba tam giác AEN, BME, CMN ta có:

AN = BE = MC (gt) (11)

góc BAN = góc ABC = góc ACB (gt) (7)

AE = BM = CN (gt) (12)

Từ (11),(7),(12) \(\Rightarrow\) ba tam giác AEN, BME, CMN bằng nhau (13)

Từ (13) \(\Rightarrow ME=MN=EN\)(các cạnh tương ứng)

nên \(\Delta MNE\) là tam giác đều