Chứng minh tam giác MNC đều biết M và N lần lượt là trung điểm của AE và BD

(Hình chỉ mang tính chất minh họa, không chính xác 100%. Mình chỉ vẽ vậy cho bạn nhìn rõ thôi nha)

a) Vì \(\Delta\) ADC đều \(\Rightarrow\) \(\widehat{C_2}\) = 60^o (định nghĩa)

và AC = DC (tính chất)

\(\Rightarrow\) CE = BC

Vì \(\Delta\) CEB đều và \(\widehat{C_1}\) = 60^o

Ta có: \(\widehat{ACE}\) + \(\widehat{C_1}\) = 180^o (2 góc kề bù)

hay \(\widehat{ACE}\) + 60^o = 180^o

\(\Rightarrow\) \(\widehat{ACE}\) = 180^o - 60^o = 120^o

Lại có: \(\widehat{DCB}\) + \(\widehat{C_3}\) = 180^o (2 góc kề bù)

hay \(\widehat{DCB}\) + 60^o = 180^o

\(\Rightarrow\) \(\widehat{DCB}\) = 180^o - 60^o = 120^o

Xét \(\Delta\) ACE và \(\Delta\) DCB, có:

AC = DC (cmt)

\(\widehat{ACE}\) = \(\widehat{DCB}\) (= 120^o)

CE = CB (cmt)

\(\Rightarrow\) \(\Delta\) ACE = \(\Delta\) DCB (c.g.c)

\(\Rightarrow\) DB = AE (2 cạnh tương ứng)

b) \(\Delta\) ACE = \(\Delta\) DCB (cmt) \(\Rightarrow\) \(\widehat{E_1}\) = \(\widehat{B_1}\) (2 góc tương ứng)

và CE = CB (2 cạnh tương ứng)

- Vì M là trung điểm của AE nên MA = ME

- Vì N là trung điểm của DB nên DN = NB

mà DB = AE (cmt)

\(\Rightarrow\) ME = NB

Xét \(\Delta\) MCE và \(\Delta\) NCB, có:

ME = NB (cmt)

\(\widehat{E_1}\) = \(\widehat{B_1}\) (cmt)

CB = CE (cmt)

\(\Rightarrow\) \(\Delta\) MCE = \(\Delta\) NCB (c.g.c)

c) Vì \(\Delta\) MCE = \(\Delta\) NCB (cmt) \(\Rightarrow\) CM = CN (2 cạnh tương ứng) (1)

và \(\widehat{MCE}\) = \(\widehat{NCB}\) (2 góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat{ECN}\) + \(\widehat{NCB}\) = 60^o (vì \(\Delta\) ECB đều)

Mà \(\widehat{MCE}\) = \(\widehat{NCB}\) (cmt)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{MCE}\) + \(\widehat{ECN}\) = 60^o (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\Delta\) CMN đều.

~ Yorin ~