Chứng minh tam giác MHK vuông cân biết tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm của BC

a, BH = AK:

Ta có: ΔABC vuông cân tại A.

=> \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}=90^o\) (1)

Cũng có: BH ⊥ AE.

=> ΔBAH vuông tại H.

=> \(\widehat{B_1}+\widehat{A_2}=90^o\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{A_1}=\widehat{B_1}\).

Xét ΔBAH và ΔACK có:

+ AB = AC (ΔABC cân)

+ \(\widehat{H_1}=\widehat{K_1}=90^o\) (CK ⊥ AE, BH ⊥ AE)

+ \(\widehat{A_1}=\widehat{B_1}=\left(cmt\right)\)

=> ΔBAH = ΔACK (cạnh huyền - góc nhọn)

=> BH = AK (2 cạnh tương ứng)

b, ΔMBH = ΔMAK:

Ta có: BH ⊥ AK; CK ⊥ AE.

=> BH // CK.

=> \(\widehat{HBM}=\widehat{MCK}\) (2 góc so le trong) [1]

Mà \(\widehat{MAE}+\widehat{AEM}=90^o\) [2]

Và \(\widehat{MCK}+\widehat{CEK}=90^o\) [3]

\(\widehat{AEM}=\widehat{CEK}\) (đối đỉnh) [4]

Từ [1], [2], [3] và [4] => \(\widehat{MAE}=\widehat{ECK}\) [5]

Từ [1] và [5] => \(\widehat{HBM}=\widehat{MAK}\).

Ta có: AM là trung tuyến của tam giác vuông ABC nên AM = BM = MC = \(\dfrac{1}{2}\)BC.

Xét ΔMBH và ΔMAK có:

+ MA = MB (cmt)

+ \(\widehat{HBM}=\widehat{MAK}\) (cmt)

+ BH = AK (câu a)

=> ΔMBH = ΔMAK (c - g - c)

c, ΔMHK vuông cân:

Xét ΔAMH và ΔCMK có:

+ AH = CK (ΔABH = ΔCAK)

+ MH = MK (ΔMBH = ΔMAK)

+ AM = CM (AM là trung tuyến)

=> ΔAMH = ΔCMK (c - c - c)

=> \(\widehat{AMH}=\widehat{CMK}\) (2 góc tương ứng)

mà \(\widehat{AMH}+\widehat{HMC}=90^o\)

=> \(\widehat{CMK}+\widehat{HMC}=90^o\)

hay \(\widehat{HMK}=90^o\).

ΔHMK có MK = MH và \(\widehat{MHK}=90^o\).

=> ΔHMK vuông cân tại M.