Chứng minh tam giác MHK vuông cân biết tam giác ABC vuông cân tại A

Chứng minh:
Có:
\(\widehat{B1}+\widehat{BAH}+\widehat{BHA}=180^o\)(định lí tổng 3 góc )
\(\Rightarrow\widehat{B1}+\widehat{BAH}=180^o-\widehat{BHA}\)
\(\Rightarrow\widehat{B1}+\widehat{BAH}=180^o-90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{B1}+\widehat{BAH}=90^o\)
Mà \(\widehat{BAH}+\widehat{A1}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{B1}=\widehat{A1}\)
Xét △BHA vuông tại H và △AKC vuông tại K có :
BA = AC (gt)
\(\widehat{B1}=\widehat{A1}\left(cmt\right)\)
⇒ △BHA = △AKC ( ch - gn )
⇒BH = AK ( tương ứng )
Xét △BMA và △CMA có :
BA = CA ( gt )
AM - cạnh chung
BM = CM ( gt )
⇒ △BMA = △CMA ( c.c.c )
\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\left(tương.ứng\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{M1}=\widehat{AMC}\) ( tương ứng )
Mà \(\widehat{M1}+\widehat{AMC}=180^o\) ( kề bù )
\(\Rightarrow\widehat{M1}=\widehat{AMC}=90^o\)
Có M là trung điểm của BC
→ Tia AM nằm giữa AB và AC
\(\Rightarrow\widehat{A3}+\widehat{MAC}=\widehat{BAC}\)
\(\Rightarrow\widehat{A3}+\widehat{MAC}=90^o\)
Mà \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CAM}=45^o\)
Có : \(\widehat{A3}+\widehat{M1}+\widehat{ABM}=180^o\) ( định lí tổng 3 góc )
\(\Rightarrow\widehat{ABM}=180^o-90^o-45^o\)
\(\Rightarrow\widehat{ABM}=45^o\)
\(\Rightarrow\widehat{A3}=\widehat{ABM}\left(=45^o\right)\)
\(\Rightarrow\Delta ABM\text{ cân tại }M\)
⇒ MB = MA
Có : E nằm giữa M và C
⇒ Tia AE nằm giữa AC và AM
\(\Rightarrow\widehat{A1}+\widehat{A2}=\widehat{MAC}\)
\(\Rightarrow\widehat{A1}+\widehat{A2}=45^o\)
\(\Rightarrow\widehat{A2}=45^o-\widehat{A1}\)
Có :
\(\widehat{B1}+\widehat{B2}=45^o\)
\(\Rightarrow\widehat{B2}=45^o-\widehat{B1}\)
Mà \(\widehat{A1}=\widehat{B1}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{A2}=\widehat{B2}\)
Xét △MBH và △MAK có :
BM = MA ( cmt )
\(\widehat{B2}=\widehat{A2}\left(cmt\right)\)
BH = AK ( cmt )
⇒△MBH = △MAK ( c.g.c )
⇒ MH = MK ( tg ứng ) (1)
\(\Rightarrow\widehat{BMH}=\widehat{AMK}\) ( tương ứng )
*) \(\widehat{M1}+\widehat{M2}=\widehat{BMH}\)
\(\Rightarrow\widehat{M2}=\widehat{BMH}-90^o\)
*) \(\widehat{AMC}+\widehat{M4}=\widehat{AMK}\)
\(\Rightarrow\widehat{M4}=\widehat{AMK}-90^o\)
Mà \(\widehat{BMH}=\widehat{AMK}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{M2}=\widehat{M4}\)
Mà \(\widehat{M2}+\widehat{M3}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{M3}+\widehat{M4}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{HMK}=90^o\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) ⇒ △HMK vuông cân

Chứng minh:
Có:
$\widehat{B1}+\widehat{BAH}+\widehat{BHA}={180}^o$(định lí tổng 3 góc )
$\Rightarrow \widehat{B1}+\widehat{BAH}={180}^o-\widehat{BHA}$
$\Rightarrow \widehat{B1}+\widehat{BAH}={180}^o-{90}^o$
$\Rightarrow \widehat{B1}+\widehat{BAH}={90}^o$
Mà $\widehat{BAH}+\widehat{A1}={90}^o$
$\Rightarrow \widehat{B1}=\widehat{A1}$
Xét △BHA vuông tại H và △AKC vuông tại K có :
BA = AC (gt)
$\widehat{B1}=\widehat{A1}\left(cmt\right)$
⇒ △BHA = △AKC ( ch - gn )
⇒BH = AK ( tương ứng )
Xét △BMA và △CMA có :
BA = CA ( gt )
AM - cạnh chung
BM = C