Chứng minh tam giác EHK đều biết tam giác ABC vuông tại A, góc ABC=60 độ

a) Xét hai tam giác vuông ABE và HBE có:

BE: cạnh huyền chung

\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\left(gt\right)\)

Vậy: \(\Delta ABE=\Delta HBE\left(ch-gn\right)\)

b) \(\Delta ABC\) vuông tại A

\(\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o\)

Mà \(\widehat{ABC}=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ACB}=30^o\)

\(\Delta EHC\) vuông tại H

\(\Rightarrow\widehat{HEC}+\widehat{HCE}=90^o\)

Mà \(\widehat{HCE}=30^o\)

\(\Rightarrow\widehat{HEC}=60^o\) (1)

Ta có: \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}=\dfrac{60^o}{2}=30^o\)

\(\Delta BEH\) vuông tại H

\(\Rightarrow\widehat{B_2}+\widehat{BEH}=90^o\)

Mà \(\widehat{B_2}=30^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BEH}=60^o\)

Vì HK // BE

\(\Rightarrow\widehat{BEH}=\widehat{EHK}\) (hai góc so le trong bằng nhau)

Mà \(\widehat{BEH}=60^o\)

nên \(\widehat{EHK}=60^o\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\Delta EHK\) là tam giác đều (đpcm)

c) Xét hai tam giác vuông AEM và HEC có:

AE = HE (\(\Delta ABE=\Delta HBE\))

\(\widehat{AEM}=\widehat{HEC}\) (đối đỉnh)

Vậy: \(\Delta AEM=\Delta HEC\left(cgv-gn\right)\)

Suy ra: AM = HC (hai cạnh tương ứng)

Ta có: BM = BA + AM

BC = BH + HC

Mà BA = BH (\(\Delta ABE=\Delta HBE\))

AM = HC (cmt)

\(\Rightarrow\) BM = BC

\(\Rightarrow\) \(\Delta BMC\) cân tại B

\(\Rightarrow\) BN là đường phân giác đồng thời là đường trung tuyến của tam giác BMC

Do đó: NM = NC (đpcm).