Chứng minh tam giác DME vuông cân tại M biết tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC

a. Xét \(\Delta ABD\left(\widehat{BDA}=90^o\right)\) có:

\(\widehat{B_1}+\widehat{A_1}=90^o\left(1\right)\)

Ta có: \(\widehat{A_1}+\widehat{BAC}+\widehat{A_2}=180^o\) (2 góc kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=180^o-\widehat{BAC}=180^o-90^o=90^o\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{A_2}\)

Xét \(\Delta BAD\) và \(\Delta ACE\left(\widehat{ADB}=\widehat{CEA}=90^o\right)\) có:

AB = AC (gt)

\(\widehat{B_1}=\widehat{A_2}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta BAD=\Delta ACE\) (Cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow AD=CE;BD=AE\) mà \(DE=AD+AE\)

\(\Rightarrow DE=BD+CE\left(đpcm\right)\)

b. Ta có: AB = AC = 3 cm

\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{B_2}=\dfrac{180^o-\widehat{BAC}}{2}=\dfrac{180^o-90^o}{2}=45^o\left(3\right)\)

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta AMC\) có:

AM chung

MB = MC (GT)

AB = AC (GT)

\(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta AMC\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{A_3}=\widehat{A_4}\) mà \(\widehat{A_3}+\widehat{A_4}=90^o\) (\(\Delta\) ABC vuông tại A)

\(\Rightarrow\widehat{A_3}=\widehat{A_4}=45^o\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\widehat{B_2}=\widehat{A_3}=45^o\)

\(\Rightarrow\Delta AMB\) cân tại M

\(\Rightarrow MA=MB\)

Mặt khác, \(\widehat{DBM}=\widehat{B_1}+\widehat{B_2};\widehat{EAM}=\widehat{A_2}+\widehat{A_4}\)

Mà \(\widehat{B_1}=\widehat{A_2}\left(\Delta BAD=\Delta ACE\right);\widehat{B_2}=\widehat{A_4}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{DBM}=\widehat{EAM}\)

Xét \(\Delta BDM\) và \(\Delta AEM\) có:

\(BD=AE\left(\Delta BAD=\Delta AEM\right)\)

\(\widehat{DBM}=\widehat{EAM}\left(cmt\right)\)

\(BM=AM\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta BDM=\Delta AEM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow MD=ME\left(5\right)\)

Xét \(\Delta AMB\) có: \(\widehat{B_2}+\widehat{A_3}+\widehat{AMB}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=180^o-\widehat{B_2}-\widehat{A_3}=180^o-45^o-45^o=90^o\left(•\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{M_1}+\widehat{M_2}=90^o\left(•\right)\)

G