Chứng minh tam giác BHC cân biết tam giác ABC cân tại A có BD vuông AC

a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có:

\(\widehat{A}\) (chung)

AB = AC (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^0\)

Do đó: \(\Delta ABD=\Delta ACE\left(ch-gn\right)\)

=> BD = CE (hai cạnh tương ứng)

b) Vì \(\Delta ABD=\Delta ACE\left(cmt\right)\)

=> \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) (hai góc tương ứng)

=> AE = AD (hai cạnh tương ứng)

mà AB = AC

mà AE + EB = AB

AD + DC =AC

=> EB = DC

Xét \(\Delta EHB\) và \(\Delta DHC\) có:

\(\widehat{BEH}=\widehat{CDH}=90^0\)

EB = DC (cmt)

\(\widehat{EBH}=\widehat{DCH}\left(\widehat{ABH}=\widehat{ACE}\right)\)

Do đó: \(\Delta EHB=\Delta DHC\left(c-g-c\right)\)

=> BH = CH (hai cạnh tương ứng)

=> \(\Delta BHC\) cân tại H

c) Vì CE \(\perp\) AB

=> CE là đường trung trực \(\Delta ABC\)

Vì BD \(\perp\) AC

=> BD là đường trung trực \(\Delta ABC\)

mà CE và BD cắt nhau tại H

=> H là trực tâm

gọi I là giao điểm của AH và BC

=> AI là đường trung trực cạnh BC

hay AH là đường trung trực cạnh BC

d) Xét \(\Delta BDC\)và \(\Delta KDC\)có:

DC (chung)

\(\widehat{BDC}=\widehat{KDC}=90^0\)

BD = KD (D là trung điểm cạnh BC )

Do đó: \(\Delta BDC=\Delta KDC\left(c-g-c\right)\)

=> \(\widehat{DBC}=\widehat{DKC}\) (hai góc tương ứng) (1)

Vì \(\Delta BHC\) cân tại H

=> \(\widehat{HBC}=\widehat{HCB}\)

hay \(\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\) (2)

(1; (2) => \(\widehat{ECB}=\widehat{DKC}\) (đpcm)