Chứng minh tam giác BAD=tam giác BED biết tia phân giác góc ABC cắt cạnh AC tại D

a) Xét \(\Delta BAD;\Delta BED\) có :

\(BE=BA\left(gt\right)\)

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\) (BD là tia phân giác \(\widehat{ABC}-gt\) )

\(BD:Chung\)

=> \(\Delta BAD=\Delta BED\left(c.g.c\right)\)

b) Ta chứng minh \(\Delta BFD=\Delta BCD\left(c.g.c\right)\)

Suy ra : \(BF=BC\) (2 cạnh tương ứng)

Mà xét \(\Delta BFC\) có:

\(BF=BC\) (CMT)

=> \(\Delta BFC\) cân tại B (đpcm)

c) Từ \(\Delta BAD;\Delta BED\) (câu a)

=> \(\widehat{BAD}=\widehat{BED}=90^o\) ( 2 góc tương ứng)

Xét \(\Delta BED\) có :

\(\widehat{BED}=90^o\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta BED\) vuông tại E (đpcm)

d) Ta có : \(\Delta BCF\) cân tại B (cmt)

Mà : BD là tia phân giác của góc \(\widehat{B}\) (do có \(\widehat{FBD}=\widehat{CBD}-gt\))

=> BD đồng thời là đường trung trực trong \(\Delta BCF\)

Hay : BD là trung trực của FC

e) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có :

\(BC^2=AB^2+AC^2\)(Định lí PITAGO)

=> \(BC^2=3^2+4^2\)

=> \(BC^2=25\)

=> \(BC=\sqrt{25}=5\left(cm\right)\)

Mà ta có : \(BF=BC=5\) (do \(\Delta BFC\) cân tại B - cmt)

Có : \(\widehat{BAC}+\widehat{CAF}=180^O\) (kề bù)

=> \(\widehat{CAF}=180^o-\widehat{BAC}\)

=> \(\widehat{CAF}=180^o-90^o=90^o\)

Xét \(\Delta AFC\) có :

\(\widehat{CAF}=90^o\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta AFC\) vuông tại A

Ta có : \(AF=BF-AB=5-3=2\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí PYTAGO vào \(\Delta AFC\) có :

\(FC^2=AF^2+AC^2\)

=> \(FC^2=2^2+4^2\)

=> \(FC^2=20\)

=> \(FC=\sqrt{20}\)