Chứng minh tam giác AOB cân biết N thuộc tia phân giác của góc xOy

a) Xét \(\Delta ANO\) và \(\Delta BNO\) có:

OF chung

\(\widehat{AON}=\widehat{BON}\) (tia pg)

\(\Rightarrow\Delta ANO=\Delta BNO\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow AO=BO\) (2 cạnh t/ư)

Do đó \(\Delta AOB\) cân tại O.

b) Vì \(\Delta ANO=\Delta BNO\) (câu a)

\(\Rightarrow AN=BN\) (2 cạnh t/ư)

và \(\widehat{OAN}=\widehat{OBN}\) = 90^o (2 góc t/ư)

Ta có: \(\widehat{OAN}+\widehat{NAD}=180^o\) (kề bù)

\(\widehat{OBN}+\widehat{NBE}=180^o\) (kề bù)

mà \(\widehat{OAN}=\widehat{OBN}\)

\(\Rightarrow\widehat{NAD}=\widehat{NBE}\)

Xét \(\Delta BEN\) và \(\Delta ADN\) có:

\(\widehat{NBE}=\widehat{NAD}\) (c/m trên)

BN = AN (c/m trên)

\(\widehat{BNE}=\widehat{AND}\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\) \(\Delta BEN=\Delta ADN\left(g.c.g\right)\)

c) Gọi giao điểm của ON và DE là I.

Lại do \(\Delta BEN=\Delta ADN\) (câu b)

\(\Rightarrow\) BE = AD (2 cạnh t/ư

Lại có: OA + AD = OD

OB + BE = OE

mà OA = OB; AD = BE

\(\Rightarrow OD=OE\)

Xét \(\Delta\)DIO và \(\Delta\)EIO có:

OD = OE (c/m trên)

\(\widehat{DOI}=\widehat{EOI}\) (tia pg)

OI chung

\(\Rightarrow\) \(\Delta DIO=\Delta EIO\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{DIO}=\widehat{EIO}\) (2 góc t/ư)

mà \(\widehat{DIO}+\widehat{EIO}=180^o\) (kề bù)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{DIO}=\widehat{EIO}\) = 90^o

Do đó OI \(\perp DE\) hay ON \(\perp DE\).