Chứng minh tam giác AMN cân biết tam giác ABC cân tại A có BM=CN < BC/2

a) Xét \(\Delta ABM;\Delta ACN\) có :

\(AB=AC\) (tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\) (tam giác ABC cân tại A)

\(BM=CN\) (gt)

=> \(\Delta ABM;\Delta ACN\) (c.g.c)

=> \(AM=AN\) (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta AMN\) có :

\(AM=AN\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta AMN\) cân tại A (đpcm)

b) Xét \(\Delta ABH;\Delta ACK\) có :

\(\widehat{BAH}=\widehat{CAK}\) (từ \(\Delta ABM;\Delta ACN\) -cmt)

\(AB=AC\left(gt\right)\)

\(\widehat{AHB}=\widehat{AKC}\left(=90^o\right)\)

=> \(\Delta ABH=\Delta ACK\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}BH=CK\\AH=AK\end{matrix}\right.\) (2 cạnh tương ứng)

c) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AM=AN\left(cmt\right)\\AH=AK\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

Mà : \(\left\{{}\begin{matrix}AH=AM+HM\\AK=AN+NK\end{matrix}\right.\)

Nên : \(MH=NK\)

Xét \(\Delta BMH;\Delta CNK\) có :

\(BM=CN\left(cmt\right)\)

\(\widehat{BHM}=\widehat{CKN}\left(=90^o\right)\)

\(MH=NK\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta BMH=\Delta CNK\) (2 cạnh góc vuông)

=> \(\widehat{MBH}=\widehat{NCK}\) (2 góc tương ứng)

Xét \(\Delta OBC\) có :

\(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\) (do \(\widehat{MBH}=\widehat{NCK}\) -cmt)

=> \(\Delta OBC\) cân tại O